Треугольник имеет вершины A (a, b), C (c, d) и O (0, 0). Каково уравнение и площадь описанного круга треугольника?

Ответ:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # где

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Объяснение:

Я обобщил вопрос; давайте посмотрим, как это происходит. Я оставил одну вершину в начале координат, что делает ее немного менее запутанной, и произвольный треугольник легко переводится.

Треугольник, конечно, совершенно несущественен для этой проблемы. Описанный круг - это круг, проходящий через три точки, которые оказываются тремя вершинами. Треугольник делает неожиданное появление в решении.

Некоторая терминология: описанный круг называется треугольником окружность и его центр треугольника Окружность.

Общее уравнение для круга с центром # (Р, д) # и квадрат радиуса # S # является

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

и площадь круга #A = pi s. #

У нас есть три неизвестных # Р, Q, S # и мы знаем три пункта, поэтому мы получаем три уравнения:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # потому что источник находится на круге.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Давайте решим одновременные уравнения. Давайте превратим их в два линейных уравнения путем расширения и вычитания пар, что равносильно потере # Р ^ 2 + д ^ 2 # слева и # S # справа.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Вычитание, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Так же, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Это два уравнения в двух неизвестных. # AX = K # есть решение # X = A ^ {- 1} K. # Я помню обратную матрицу два на два, которую я не знаю, как отформатировать, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Для нас это значит

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

и квадрат радиуса

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

так что область #число Пи# раз это количество.

Мы можем видеть, что выражение становится более симметричным, если мы рассмотрим, что происходит для произвольного треугольника # (А, В), (С, D), (Е, F). # Мы установили # А = А-Е, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # но я не буду решать это сейчас.

Я отмечу числитель # S # является произведением трех квадратов длины сторон треугольника, и знаменатель # S # в шестнадцать раз больше площади треугольника.

В рациональной тригонометрии квадраты длины называются quadrances и шестнадцать раз квадрат площади называется quadrea. Мы обнаружили, что квадрант радиуса окружности является произведением квадрантов треугольника, разделенных на его квадри.

Если нам просто нужен радиус или площадь окружности, мы можем суммировать результат здесь как:

Квадратный радиус окружности представляет собой произведение квадратов на длину треугольника, деленных на шестнадцать раз площади квадрата треугольника.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #