Каковы асимптоты и удаляемые разрывы, если таковые имеются, f (x) = (4 (x + 2) (x-1)) / (3 (x + 2) (x-5)?

Ответ:

# "вертикальная асимптота при" x = 5 #

# "Горизонтальная асимптота при" y = 4/3 #

# «съемный разрыв при» (-2,4 / 7) #

Объяснение:

# "упростить f (x), отменив общие факторы" #

#f (х) = (4cancel ((х + 2)) (х-1)) / (3cancel ((х + 2)) (х-5)) = (4 (х-1)) / (3 (х-5)) #

Поскольку мы убрали фактор (x + 2), в x = - 2 (дыра) будет удаляемый разрыв

#f (-2) = (4 (-3)) / (3 (-7)) = (- 12) / (- 21) = 4/7 #

#rArr "точка разрыва в" (-2,4 / 7) #

График #f (x) = (4 (x-1)) / (3 (x-5)) "будет таким же, как" #

# (4 (x + 2) (x-1)) / (3 (x + 2) (x-5)) "но без отверстия" #

Знаменатель f (x) не может быть равен нулю, так как это сделает f (x) неопределенным. Приравнивая знаменатель к нулю и решая, получаем значение, которое x не может быть, и если числитель не равен нулю для этого значения, то это вертикальная асимптота.

# "solve" 3 (x-5) = 0rArrx = 5 "является асимптотой" #

Горизонтальные асимптоты встречаются как

#lim_ (xto + -oo), f (x) toc "(константа)" #

разделите члены на числитель / знаменатель на x

#f (х) = ((4x) / х-4 / х) / ((3x) / х-15 / х) = (4-4 / х) / (3-15 / х) #

как # XTO + оо, е (х) (4-0) / (3-0 #

# rArry = 4/3 "это асимптота" #

график {(4x-4) / (3x-15) -16.02, 16.01, -8.01, 8.01}