Ответ:
#= 6 # кубические единицы
Объяснение:
нормальный вектор #((2),(3),(1))# который указывает в направлении октанта 1, поэтому рассматриваемый объем находится под плоскостью и в октанте 1
мы можем переписать самолет как #z (x, y) = 6 - 2x - 3y #
за #z = 0 # у нас есть
- # z = 0, x = 0 означает y = 2 #
- # z = 0, y = 0 означает x = 3 #
а также
- - # x = 0, y = 0 означает z = 6 #
это так:
объем нам нужен
#int_A z (x, y) dA #
# = int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 - 2x - 3y dy dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6y - 2xy - 3 / 2y ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3 x) - 2x (2-2 / 3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 _ (у = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6-4 x + 2/3 x ^ 2 dx #
# = 6x- 2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3) #
#= 18- 18 + 54/9 #
#= 6 #
Ответ:
6
Объяснение:
Мы собираемся выполнить тройной интеграл.
Декартова система координат является наиболее применимой. Порядок интеграции не является критичным. Мы собираемся идти z первым, у среднего, х последним.
#underline ("Определение ограничений") #
На самолете #z = 6 - 2x - 3y # и на координатной плоскости #z = 0 # следовательно
# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #
Вместе # Г = 0 #, # У # идет от 0 до # 3y = 6 - 2x # следовательно
#y: 0 rarr 2 - 2 / 3x #
Вместе # y = 0, z = 0 # следовательно
#x: 0 rarr 3 #
Мы находим объем так #f (x, y, z) = 1 #, Интеграл становится
# Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) int_0 ^ (6-2x-3y) dzdydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) г _0 ^ (6-2x-3y) dydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) (6-2x-3y) dydx #
# = int_0 ^ 3 6y-2xy - 3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 / 9x ^ 2)) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #
# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #
#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #
#=6#
