Каково уравнение касательной линии f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 при x = 5?

Уравнение касательной линии имеет вид:

# У = цвет (оранжевый) (а) х + цвет (фиолетовый) (б) #

где # A # это наклон этой прямой линии.

Чтобы найти наклон этой касательной к #f (х) # в точке # Х = 5 # мы должны дифференцировать #f (х) #

#f (х) # является частной функцией вида # (И (х)) / (v (х)) #

где #U (х) = х-3 # а также #v (х) = (х-4) ^ 2 #

#color (синий) (Р '(х) = (и' (х) у (х) -V '(х) и (х)) / (v (х)) ^ 2) #

#u '(х) = X'-3' #

#color (красный) (и '(х) = 1) #

#v (х) # это составная функция, поэтому мы должны применить правило цепи

позволять #G (х) = х ^ 2 # а также #H (х) = х-4 #

#v (х) = г ((х)) #

#color (красный) (v '(х) = г' (Н (х)) * ч '(х)) #

#G '(х) = 2x # затем

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(х) = 1 #

#color (красный) (v '(х) = г' (Н (х)) * ч '(х)) #

#color (красный) (v '(х) = 2 (х-4) #

#color (синий) (Р '(х) = (и' (х) у (х) -V '(х) и (х)) / (v (х)) ^ 2) #

#f '(х) = (1 * (х-4) ^ 2-2 (х-4) (х-3)) / ((х-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(х) = ((х-4) ^ 2-2 (х-4) (х-3)) / (х-4) ^ 2 #

#f '(х) = ((х-4) (х-4-2 (х-3))) / (х-4) ^ 4 #

#f '(х) = ((х-4) (х-4-2x + 6)) / (х-4) ^ 4 #

#f '(х) = ((х-4) (- х + 2)) / (х-4) ^ 4 #

упрощение общего фактора # X-4 # между числителем и знаменателем

#color (синий) (Р '(х) = (- х + 2) / (х-4) ^ 3) #

Поскольку касательная проходит через точку # Х = 5 # так что мы можем найти значение наклона # A # заменив # Х = 5 # в # f '(x) #

#color (оранжевый) (а = е '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# А = -3/1 ^ 3 #

#color (оранжевый) (а = -3) #

Учитывая абсциссу точки касания #color (коричневый) (х = 5) # Давайте

давайте найдем его ординату # У = F (5) #

#color (коричневый) (у = F (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# У = 2/1 #

#color (коричневый) (у = 2) #

Имея координаты точки касания #color (коричневый) ((5; 2)) # и склон #color (оранжевый) (а = -3) # Давайте найдем #color (фиолетовый) (б) #

давайте подставим все известные значения в уравнение касательной, чтобы найти значение #color (фиолетовый) (б) #

#color (коричневый) (у) = цвет (оранжевый) (а) цвет (коричневый) (х) + цвет (фиолетовый) (б) #

# 2 = -3 (5) + цветной (фиолетовый) (б) #

# 2 = -15 + цвет (фиолетовый (б) #

# 17 = цвет (фиолетовый) (б) #

следовательно, уравнение касательной в точке #color (коричневый) ((5; 2)) # является:

# У = -3x + 17 #