Ответ:
Смотрите объяснение …
Объяснение:
Позволять #t = a_ (cf) (x; b) #
Затем:
#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #
Другими словами, # Т # является фиксированной точкой отображения:
#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #
Обратите внимание, что само по себе, # Т # будучи фиксированной точкой #F (т) # недостаточно доказать, что #t = a_ (cf) (x; b) #, Там могут быть нестабильные и стабильные фиксированные точки.
Например, #2016^(1/2016)# является фиксированной точкой #x -> x ^ x #, но это не решение # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Нет решения).
Однако давайте рассмотрим #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # а также #t = 1.880789470 #
Затем:
#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #
# ~~ е ^ (0,1 + 0,5316916199) #
# = Е ^ 0,6316916199 #
# ~~ 1.880789471 ~~ t #
Так что это значение # Т # очень близко к фиксированной точке #F_ (а, б, х) #
Чтобы доказать его устойчивость, рассмотрим производную вблизи # Т #.
# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #
Итак, мы находим:
#F '_ (е, 1,0,1) (т) = -1 / т ^ 2 е ^ (0,1 + 1 / т) = -1 / т ^ 2 * т = -1 / т ~~ -0,5316916199 #
Так как это отрицательно и имеет абсолютное значение меньше #1#фиксированная точка на # Т # стабильный
Также обратите внимание, что для любого ненулевого реального значения # S # у нас есть:
#F '_ (е, 1,0,1) (с) = -1 / с ^ 2 е ^ (0,1 + 1 / с) <0 #
То есть #F_ (е, 1,0.1) (с) # строго монотонно убывающий.
следовательно # Т # является уникальной стабильной фиксированной точкой.
Ответ:
Контрактивное поведение.
Объяснение:
С #a = e # а также #x = x_0 # итерация выглядит следующим образом
#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # а также
#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #
Исследуем условия сжатия в итерационном операторе.
Вычитая обе стороны
#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #
но в первом приближении
# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1}))) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #
или же
# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} приблизительно -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-у- {K-1}) #
Чтобы иметь сокращение, нам нужно
#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #
Это достигается, если
#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #, если бы #b> 0 # а также #k = 1 # у нас есть.
# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #
Так дано # X_0 # а также # Б # это соотношение позволяет нам найти начальную итерацию при сжимающем поведении.
