Что такое комплексные числа? Спасибо.

Комплексные числа являются числами вида # А + би # где # A # а также # Б # реальные цифры и #я# определяется как # I = SQRT (-1) #.

(Выше приведено базовое определение комплексных чисел. Подробнее о них читайте далее.)

Очень похоже на то, как мы обозначаем множество действительных чисел как # RR #мы обозначаем множество комплексных чисел как # CC #, Обратите внимание, что все действительные числа также являются комплексными числами, как любое действительное число #Икс# может быть написано как # Х + 0i #.

Учитывая комплексное число # Г = а + би #мы говорим, что # A # это реальная часть комплексного числа (обозначается # "Ре" (г) #) а также # Б # это мнимая часть комплексного числа (обозначается # "Im" (г) #).

Выполнение операций с комплексными числами аналогично выполнению операций над биномами. Учитывая два комплексных числа # z_1 = a_1 + b_1i # а также # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = A_1A_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = A_1A_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (Помните # I = SQRT (-1) #)

# = (A_1A_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) I #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((A_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((A_1A_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) я) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Для разделения мы использовали тот факт, что # (А + би) (а-би) = а ^ 2 + B ^ 2 #, Учитывая комплексное число # Г = а + би # мы называем # А-би # комплексное сопряжение из # Г # и обозначить это #bar (г) # Это полезное свойство (как видно выше), которое #zbar (г) # всегда реальное число.

Комплексные числа имеют много полезных приложений и атрибутов, но часто встречаются на ранних этапах их использования в факторизации полиномов. Если мы ограничимся только действительными числами, полином, такой как # Х ^ 2 + 1 # не может быть далее учтено, однако, если мы допустим комплексные числа, то мы имеем # Х ^ 2 + 1 = (х + I) (х-я) #.

На самом деле, если мы допускаем комплексные числа, то любой однопараметрический полином степени # П # может быть написано как произведение # П # линейные факторы (возможно, некоторые из них одинаковы). Этот результат известен как основная теорема алгебры и, как видно из названия, очень важна для алгебры и имеет широкое применение.