У нас естьf: {1,2,3} -> {1,2} и g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Сколько существует инъективных функций f и g?

Ответ:

# Е # не может быть инъективным

#г# может быть инъективным в #24# пути.

Объяснение:

Функция является инъективной, если никакие два входа не обеспечивают одинаковый выход. Другими словами, что-то вроде

#f (x) = f (y), quad x ne y #

не может случиться

Это означает, что в случае конечной области и кодомена функция может быть инъективной тогда и только тогда, когда область меньше, чем кодомен (или, самое большее, равна), с точки зрения мощности.

Вот почему # Е # никогда не может быть инъективным. На самом деле, вы можете исправить #f (1) # как вам нравится. Сказать #f (1) = 1 #, например. При выборе #f (2) #мы не можем снова сказать, что #f (2) = 1 #, или же # Е # не будет инъективным Но когда дело доходит до #f (3) # у нас нет выбора, если мы скажем #f (3) = 1 # у нас есть #f (1) = F (3) #и если мы скажем #f (3) = 2 # у нас есть #f (2) = F (3) #.

Другими словами, мы должны назначить один из двух возможных выходов на каждый из трех входов. Должно быть очевидно, что входы не могут обеспечивать разные выходы.

С другой стороны #г# может быть инъективным, поскольку имеется «достаточно места»: каждый из трех входов может выбрать один из четырех выходов таким образом, чтобы никакие разные входы не обеспечивали одинаковый выход.

Но во сколько? Ну, предположим, мы начнем снова с #f (1) #, Мы можем выбрать любой из четырех выходов для этого входа, поэтому мы можем выбрать #f (1) # четырьмя способами.

Когда дело доходит до #f (2) #мы теряем некоторую свободу: мы можем присвоить любое значение #f (2) #кроме той, которую мы назначили #f (1) #Итак, у нас есть два варианта. Например, если мы исправили #f (1) = 2 #, затем #f (2) # может быть #1#, #3# или же #4#.

По той же логике у нас есть два варианта #f (3) #: из четырех возможных вариантов мы исключаем уже назначенные #f (1) # а также #f (3) #.

Итак, мы можем определить #г# в #4*3*2 = 24# способы такие, что #г# инъективно