Что могут применяться полиномиальные тождества помимо полиномов?

Ответ:

Смотрите объяснение для некоторых примеров …

Объяснение:

Одна полиномиальная идентичность, которая часто возникает в различных областях, - это разность квадратов:

# a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #

Мы встречаемся с этим в контексте рационализации знаменателей.

Рассмотрим этот пример:

# 1 / (2 + SQRT (3)) #

# = (2-sqrt (3)) / ((2-sqrt (3)) (2 + sqrt (3))) #

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + цвет (красный) (отмена (цвет (черный) ((2) sqrt (3)))) - цвет (красный) (отмена (цвет (черный)) (SQRT (3) (2)))) - (SQRT (3)) ^ 2) #

# = (2-SQRT (3)) / (2 ^ 2- (SQRT (3)) ^ 2) #

# = (2-SQRT (3)) / (4-3) #

# = 2-SQRT (3) #

Признавая разницу в квадратах, мы можем пропустить шаг:

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + цвет (красный) (отмена (цвет (черный) ((2) sqrt (3)))) - цвет (красный) (отмена (цвет (черный)) (SQRT (3) (2)))) - (SQRT (3)) ^ 2) #

Или рассмотрим этот пример с немного сложными арифметическими и тригонометрическими функциями:

# 1 / (потому что тэта + я грешу тэта) #

# = (потому что тэта - я грешу тета) / ((потому что тэта - я грешу тета) (потому что тэта + я грешу тета)) #

# = (потому что тета - я грешу тета) / (потому что ^ 2 тета - я ^ 2 грех ^ 2 тета) #

# = (потому что тета - я грешу тета) / (потому что ^ 2 тета + грех ^ 2 тета) #

# = cos theta - я грешу на theta #

Для примера использования в исчислении, см.

На другом конце шкалы эта полиномиальная идентичность иногда полезна для умственной арифметики. Например:

#97 * 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991#