Что (3 + i) ^ (1/3) равно в форме + bi?

Ответ:

# root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Объяснение:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (альфа) + i sin (альфа)) # где #alpha = arctan (1/3) #

Так

#root (3) (3 + i) = root (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

поскольку # 3 + I # находится в Q1, этот главный кубический корень # 3 + I # также в Q1.

Два других кубических корня # 3 + I # выражаются с помощью примитивного сложного кубического корня из единицы #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) я #

# омега ^ 2 (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) я #