Каковы асимптот (ы) и отверстие (я), если таковые имеются, f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3х ^ 2)?

Ответ:

# Х = 0 # это асимптота

# Х = 1 # это асимптота

#(3, 5/18)# это дыра.

Объяснение:

Во-первых, давайте упростим нашу дробь, ничего не отменяя (так как мы собираемся взять ограничения, а отмена чего-то может помешать этому).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Теперь: дыры и асимптоты - это значения, которые делают функцию неопределенной. Поскольку у нас есть рациональная функция, она будет неопределенной тогда и только тогда, когда знаменатель равен 0. Поэтому нам нужно только проверять значения #Икс# которые делают знаменатель #0#, которые:

# Х = 0 #

# Х = 1 #

# Х = 3 #

Чтобы выяснить, являются ли это асимптоты или дырки, давайте возьмем предел #f (х) # как #Икс# подходит к каждому из этих чисел.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3) (х + 2)) / (х ^ 2 (х-1) (х-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -oo #

Так # Х = 0 # это асимптота

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -oo #

Так # Х = 1 # это асимптота

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2)) / (х ^ 2 (х-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

Так #(3, 5/18)# это дыра в #f (х) #.

Окончательный ответ