Каковы приблизительные решения 5x ^ 2 - 7x = 1 с округлением до сотых?

Вычитание #1# с обеих сторон получаем:

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

Это имеет форму # топор ^ 2 + bx + c = 0 #, с #a = 5 #, #b = -7 # а также #c = -1 #.

Общая формула для корней такой квадратики дает нам:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (7 + -квт ((- 7) ^ 2- (4xx5xx-1))) / (2xx5) #

# = (7 + -квт (69)) / 10 #

# = 0,7 + - sqrt (69) / 10 #

Что такое хорошее приближение для #sqrt (69) #?

Мы могли бы вставить это в калькулятор, но давайте сделаем это вручную, вместо этого используя Newton-Raphson:

#8^2 = 64#, так #8# кажется хорошим первым приближением.

Затем выполните итерацию по формуле:

#a_ (n + 1) = (a_n ^ 2 + 69) / (2a_n) #

Позволять # A_0 = 8 #

# a_1 = (64 + 69) / 16 = 133/16 = 8,3125 #

Это почти наверняка достаточно для требуемой точности.

Так #sqrt (69) / 10 ~ = 8,3 / 10 = 0,83 #

#x ~ = 0.7 + - 0.83 #

То есть #x ~ = 1.53 # или же #x ~ = -0.13 #

перезапись # 5x ^ 2-7x = 1 # в стандартной форме # топор ^ 2 + bx + c = 0 #

дающий

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

затем используйте квадратную формулу для корней:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

В этом случае

#x = (7 + -кврт (49 + 20)) / 10 #

Используя калькулятор:

#sqrt (69) = 8.306624 # (Прибл.)

Так

# x = 15.306624 / 10 = 1.53 # (округляется до ближайшей сотой)

или же

#x = -1.306624 / 10 = -0,13 # (округляется до сотых)