Каковы асимптоты и удаляемые разрывы, если таковые имеются, f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Ответ:

#f (х) # имеет горизонтальную асимптоту # У = 0 # и вертикальная асимптота # Х = 0 #

Объяснение:

Дано:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Домен числителя #sqrt (х) # является # 0, оо) #

• Домен знаменателя # e ^ x - 1 # является # (- оо, оо) #

• Знаменатель равен нулю, когда # e ^ x = 1 #, что для реальных значений #Икс# происходит только тогда, когда # Х = 0 #

Следовательно, область #f (х) # является # (0, oo) #

Используя расширение серии # Е ^ х #, у нас есть:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

# color (white) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

# color (white) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

# color (white) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Так:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (white) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (white) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (white) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

а также:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Так #f (х) # имеет вертикальную асимптоту # Х = 0 # и горизонтальная асимптота # У = 0 #

graph {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6,1, 13,9, -2,92, 7,08}