Каковы асимптот (ы) и отверстие (я), если таковые имеются, f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1)?

Ответ:

#f (х) # имеет вертикальную асимптоту в # х = -1 #дыра в # Х = 1 # и горизонтальная асимптота # У = 0 #, У него нет косых асимптот.

Объяснение:

#f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1) #

#color (white) (f (x)) = цвет (красный) (отмена (цвет (черный) ((x-1)))) / (цвет (красный) (отмена (цвет (черный) ((x-1))))) (х + 1) (х ^ 2 + 1)) #

# color (white) (f (x)) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

с исключением #X = - 1 #

Обратите внимание, что # x ^ 2 + 1> 0 # для любых реальных значений #Икс#

когда # х = -1 # знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю. Так #f (х) # имеет вертикальную асимптоту в # х = -1 #

когда # Х = 1 # как числитель и знаменатель определяющего выражения для #f (х) # равны нулю, но упрощенное выражение хорошо определено и непрерывно в # Х = 1 #, Так что есть дыра в # Х = 1 #.

Как #x -> + - оо # знаменатель упрощенного выражения # -> оо #в то время как числитель является постоянным #1#, Следовательно, функция стремится к #0# и имеет горизонтальную асимптоту # У = 0 #

#f (х) # не имеет косых (наклонных) асимптот. Чтобы рациональная функция имела наклонную асимптоту, числитель должен иметь степень ровно на один больше, чем знаменатель.

график {1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) -10, 10, -5, 5}