Как интегрировать int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx с помощью тригонометрического замещения?

Ответ:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((е ^ х + 10) / (SQRT (е ^ (2x) + 20e ^ х + 101) + 1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Объяснение:

Решение немного длинное !!!

Из данного #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Обратите внимание, что # I = SQRT (-1) # мнимое число

Отложите это комплексное число на некоторое время и перейдите к

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

завершив квадрат и сделав некоторую группировку:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Первая тригонометрическая замена: ##

Острый угол # Ш # с противоположной стороны # = Е ^ х + 10 # и соседняя сторона #=1# с гипотенузой =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Позволять # e ^ x + 10 = загар w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

а потом

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Интеграл становится

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (загар w-10) #

из тригонометрии #sec w = 1 / cos w # а также #tan w = sin w / cos w #

Интеграл становится

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # а также

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Вторая тригонометрическая замена:

Позволять # w = 2 tan ^ -1 z #

# С.в. = 2 * дг / (1 + Z ^ 2) #

а также # z = загар (w / 2) #

Прямоугольный треугольник: острый угол # Ж / 2 # с противоположной стороны # = z #

Соседняя сторона #=1# и гипотенуза # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Из тригонометрии: напоминая формулы полуугловых

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

решение для #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Также используя личность #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

это следует из того

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

интеграл становится

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + Z ^ 2)) #

Упрощение интегральных результатов до

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Заполнив квадрат:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Используйте сейчас формулу #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Позволять # = Г + 1/10 # а также # А = sqrt101 / 10 # и в том числе обратно # I = SQRT (-1) #

Напишите окончательный ответ, используя оригинальные переменные

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((е ^ х + 10) / (SQRT (е ^ (2x) + 20e ^ х + 101) + 1)) + 1 + sqrt101)) + C #