Что такое интеграл от int tan ^ 4x dx?

Ответ:

# (Тангенс ^ 3x) / 3-Tanx + х + С #

Объяснение:

Решение антидеривативов триггера обычно включает разрушение интеграла для применения пифагорейских идентичностей, а их использование # # UЗАМЕНА. Это именно то, что мы будем делать здесь.

Начните с переписывания # Inttan ^ 4xdx # как # Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #, Теперь мы можем применить пифагорейскую идентичность # Загар ^ 2x + 1 = сек ^ 2x #, или же # Загар ^ 2x = сек ^ 2x-1 #:

# Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = INT (сек ^ 2x-1) загар ^ 2xdx #

Распространение # Загар ^ 2x #:

#color (белый) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xtan ^ 2xdx #

Применение правила сумм:

#color (белый) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Мы оценим эти интегралы один за другим.

Первый Интеграл

Этот решается с помощью # # UЗАМЕНА:

Позволять # И = Tanx #

# (Ди) / дх = сек ^ 2x #

# Ди = сек ^ 2xdx #

Применяя замену, #color (белый) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2Ду #

#color (белый) (ХХ) = и ^ 3/3 + C #

Так как # И = Tanx #, # Intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (тангенс ^ 3x) / 3 + C #

Второй Интеграл

Поскольку мы на самом деле не знаем, что # Inttan ^ 2xdx # просто глядя на него, попробуйте применить # Загар ^ 2 = сек ^ 2x-1 # тож опять

# Inttan ^ 2xdx = INT (с ^ 2x-1) ах #

Используя правило сумм, интеграл сводится к:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

Первый из них, # Intsec ^ 2xdx #, просто # Tanx + C #, Второй, так называемый «совершенный интеграл», просто # Х + С #, Собрав все это вместе, мы можем сказать:

# Inttan ^ 2xdx = Tanx + С-х + С #

И потому что # C + C # это просто другая произвольная константа, мы можем объединить ее в общую константу # C #:

# Inttan ^ 2xdx = Tanx-х + С #

Объединяя два результата, мы имеем:

# Inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((тангенс ^ 3x) / 3 + С) - (Tanx-х + С) = (тангенс ^ 3x) / 3-Tanx + х + С #

Опять же, потому что # C + C # является константой, мы можем объединить их в один # C #.

Что такое интеграл от int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Наша большая проблема в этом интеграле - корень, поэтому мы хотим от него избавиться. Мы можем сделать это, введя подстановку u = sqrt (2x-1). Тогда производная равна (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1). Таким образом, мы делим (и помните, что деление на обратное равнозначно умножению на знаменатель) для интегрирования по u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / отмена (sqrt (2x-1)) отменить (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Теперь все, что нам нужно сделать, это выразить x ^ 2 через u (поскольку вы не можете интегрировать x

Что такое интеграл от int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) + 1)) + п (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) - 1))] + SQRT (1 + е ^ (2x)) + C Сначала подставим: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Выполнить вторая замена: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Разделить, используя частичные дроби: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2. Теперь мы имеем:

Что такое интеграл от int tan ^ 5 (x)?

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx Зная тот факт, что tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, мы можем переписать его как int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, что дает int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Первый интеграл: Пусть u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Второй интеграл: Пусть u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Поэтому int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx обратите внимание, что int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, что дает нам 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Подстановка u обратно в выра