Давайте начнем с функции без # М #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Эта функция, безусловно, имеет # Х = 0 # как корень, так как мы учли #Икс#.
Другие корни являются решениями # Х ^ 2-2x + 2 = 0 #Но эта парабола не имеет корней. Это означает, что исходный многочлен имеет только один корень.
Теперь полином #p (х) # нечетной степени всегда имеет хотя бы одно решение, потому что у вас есть
#lim_ {х to- infty} р (х) = - infty # а также #lim_ {х к infty} р (х) = infty #
а также #p (х) # является непрерывным, поэтому он должен пересечь #Икс# ось в некоторой точке.
Ответ приходит из следующих двух результатов:
- Полином степени # П # точно # П # сложные корни, но в большинстве # П # настоящие корни
- Учитывая график #f (х) #График #f (х) + к # имеет ту же форму, но она вертикально переведена (если вверх Йк> 0 #, вниз)
Итак, начнем с # Х ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, который имеет только один реальный корень (и, следовательно, два сложных корня), и мы преобразуем его в # Х ^ 3-2x ^ 2 + 2x + м #Это означает, что мы переводим его вверх или вниз, поэтому мы не меняем количество решений.
Некоторые примеры:
Оригинальная функция: # У = х ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
график {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Перевести вверх: # У = х ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
график {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Перевести вниз: # У = х ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
график {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Как видите, всегда есть один корень
Ответ:
Увидеть ниже
Объяснение:
Альтернативное, возможно, более элегантное решение:
производная вашего полинома # 3x ^ 2-4x + 2 #, которая является вогнутой параболой без корней и, таким образом, всегда положительной. Так, # Е # является:
- Монотонно возрастающий
- #lim_ {х к infty вечера} F (X) = ч infty #
- # "Град" (е) = 3 #
Первые два пункта показывают, что # Е # имеет ровно один корень, а третий, что два других корня являются сложными.
