Каковы асимптоты и удаляемые разрывы, если таковые имеются, функции f (x) = (x ^ 3-x + 2) / ((x-x ^ 2) (1-x ^ 2))?

Ответ:

Там нет ни одного.

Объяснение:

Съемные разрывы существуют, когда функция не может быть оценена в определенной точке, но левая и правая границы равны друг другу в этой точке. Одним из таких примеров является функция х / х. Эта функция явно 1 (почти) везде, но мы не можем оценить ее как 0, потому что 0/0 не определено. Тем не менее, левый и правый пределы в 0 равны 1, поэтому мы можем «удалить» разрыв и дать функции значение 1 при x = 0.

Когда ваша функция определяется полиномиальной дробью, удаление разрывов является синонимом факторов отмены. Если у вас есть время и вы знаете, как дифференцировать полиномы, я призываю вас доказать это для себя.

Факторинг вашего полинома сложно. Тем не менее, есть простой способ проверить, где разрывы. Сначала найдите все x, для которых знаменатель равен 0. Для этого вы можете разложить знаменатель следующим образом:

# (x-x ^ 2) (1-x ^ 2) = x (1-x) (1-x) (1 + x) #

Первый член я учел, вытаскивая общий множитель х. Второе слагаемое - это разница квадратов, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #.

Здесь мы можем видеть нули в знаменателе: x = 0, x = 1 и x = -1.

Не разбирая числитель, мы можем проверить, существуют ли нули в полиноме числителя. Если они это сделают, нам придется заняться факторингом. Если они этого не сделают, то мы можем быть уверены, что нет никаких факторов, которые все равно отменили бы.

#(0)^3-(0)+2 = 2#

#(1)^3-(1)+2 = 2#

#(-1)^3-(-1)+2 = 2#

Во всех трех случаях мы получили 2, что не равно 0. Таким образом, мы можем заключить, что ни один из нулей в знаменателе не соответствует 0 в числителе, поэтому ни один из разрывов не может быть удален.

Вы также можете проверить это самостоятельно в своем графическом программном обеспечении. Вы найдете, что функция расходится при x = -1, 0 и 1. Если разрывы были съемными, она должна выглядеть относительно плоской в области вокруг разрывов, а не расходиться.