Как вы находите первые три члена ряда Маклаурина для f (t) = (e ^ t - 1) / t, используя ряд Маклаурина e ^ x?

Мы знаем, что серия Maclaurin # Е ^ х # является

#sum_ (п = 0) ^ OOX ^ п / (п!) #

Мы также можем вывести эту серию, используя расширение Маклаурина #f (х) = sum_ (п = 0) ^ уф ^ ((п)) (0) х ^ п / (п!) # и тот факт, что все производные # Е ^ х # все еще # Е ^ х # а также # Е ^ 0 = 1 #.

Теперь просто замените вышеупомянутые серии в

# (Е ^ х-1) / х #

# = (Sum_ (п = 0) ^ оо (х ^ п / (п)) - 1) / х #

# = (1 + sum_ (п = 1) ^ оо (х ^ п / (п)) - 1) / х #

# = (Sum_ (п = 1) ^ оо (х ^ п / (п!))) / Х #

# = Sum_ (п = 1) ^ OOX ^ (п-1) / (п!) #

Если вы хотите, чтобы индекс начинался с # = 0 #, просто подставь # П = I + 1 #:

# = Sum_ (я = 0) ^ OOX ^ я / ((я + 1)!) #

Теперь просто оцените первые три условия, чтобы получить

# ~~ 1 + х / 2 + х ^ 2/6 #