Допустим, K и L - это два разных подпространства вещественного векторного пространства V. Если задано dim (K) = dim (L) = 4, как определить минимальные размеры для V?

Ответ:

5

Объяснение:

Пусть четыре вектора # K_1, k_2, K_3 # а также # K_4 # образуют основу векторного пространства # K #, поскольку # K # это подпространство # V #эти четыре вектора образуют линейно независимое множество в # V #, поскольку # L # это подпространство # V # отличный от # K #должен быть хотя бы один элемент, скажем # L_1 # в # L #, которого нет в # K #т.е. который не является линейной комбинацией # K_1, k_2, K_3 # а также # K_4 #.

Итак, множество # {K_1, K_2, K_3, k_4, l_1} # является линейным независимым набором векторов в # V #, Таким образом, размерность # V # как минимум 5!

На самом деле, это возможно на протяжении # {K_1, K_2, K_3, k_4, l_1} # быть целым векторным пространством # V # - так что минимальное количество базисных векторов должно быть 5.

Просто в качестве примера, пусть # V # быть # RR ^ 5 # и разреши # K # а также # V # состоит из векторов форм

# ((альфа), (бета), (гамма), (дельта), (0)) # а также # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Легко видеть, что векторы

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#а также #((0),(0),(0),(0),(0))#

сформировать основу # K #, Добавить вектор #((0),(0),(0),(0),(0))#и вы получите основу для всего векторного пространства,