Исчисление

Lim _ (x-> a) (x ^ 3/8-a ^ 3/8) / (x ^ 5/3-a ^ 5/3) = (9) / (40a ^ (2)) lim _ ( x-> a) (x ^ 3/8-a ^ 3/8) / (x ^ 5/3-a ^ 5/3) Поскольку мы можем легко понять, что это 0/0, мы изменим дробь ( (x ^ 3-a ^ 3) * 3) / ((x ^ 5-a ^ 5) * 8) Применить правило факторинга (отмена (x -a) (a ^ 2 + ax + x ^ 2) * 3 ) / (8cancel (xa) (x ^ 4 + x ^ 3a + x ^ 2a ^ 2 + xa ^ 3 + a ^ 4) Вставьте значение a ((a ^ 2 + aa + a ^ 2) * 3) / (8 (a ^ 4 + a ^ 3a + a ^ 2a ^ 2 + aa ^ 3 + a ^ 4) ((3a ^ 2) * 3) / (8 (2a ^ 4 + 2a ^ 3a ^ 1 + a ^ 2a ^ 2) (9a ^ 2) / (8 (2a ^ 4 + 2a ^ 4 + a ^ 4) (9a ^ 2) / (8 (5a ^ 4) (9a ^ 2) / (40a ^ 4) = ( 9) / (40a ^ (4-2 Подробнее »

Arctan (e ^ x) + C "записать" e ^ x "dx как" d (e ^ x) ", затем мы получим" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "с заменой y =" e ^ x ", мы получаем" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) ", что равно" arctan (y) + C ". Теперь подставим обратно" y = е ^ х: арктан (е ^ х) + С Подробнее »

«Характеристическое уравнение:« z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 => z = 0 «ИЛИ« z ^ 2 - z + 4 = 0 » диск из четырех. eq. = 1 - 16 = -15 <0 "", поэтому у нас есть два комплексных решения, они "z = (1 pm sqrt (15) i) / 2". Таким образом, общее решение однородного уравнения is: "A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) ix) + C' exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) ix) = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) "Конкретное решение для полного уравнения есть" "y = x, «Это легко увидеть». Подробнее »

См. Ответ ниже: Кредиты: 1. Спасибо omatematico.com (извините за португальский), который напоминает нам о связанных тарифах, на веб-сайте: 2. Спасибо KMST, который напоминает нам о связанных тарифах, на веб-сайте: http://www.algebra.com/algebra/homework/Finance/Finance.faq.question.831122.html Подробнее »

A) Производная не существует B) Да C) Нет Вопрос A Вы можете увидеть это несколькими различными способами. Либо мы можем дифференцировать функцию, чтобы найти: f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)), которая не определена при х = 2. Или мы можем посмотреть на предел: lim_ (h-> 0) (f (2 + h) -f (2)) / h = lim_ (h-> 0) (3 (2 + h-2) ^ ( 2/5) -3 (2-2) ^ (3/5)) / h = = lim_ (h-> 0) 0 / h Этот предел не существует, что означает, что производная не существует в этот момент. Вопрос B Да, теорема о среднем значении применима. Условие дифференцируемости в теореме о среднем значении требует, чтобы функция б Подробнее »

Lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] = color (blue) (3/8) Вот два различных метода, которые вы можете использовать для этой проблемы, отличных от метода Дугласа К. использования l'Hôpital's Правило. Нас просят найти предел lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] Самый простой способ сделать это - подключить очень большое число для x (например, 10 ^ 10). и посмотрите на результат; значение, которое выходит, как правило, является пределом (вы не всегда можете это сделать, поэтому этот метод обычно не рекомендуется): (3 (10 ^ 10) -2) / (8 (10 ^ 10) +7) ~~ color (blue) (3/8 Однако следующий верный способ найти предел: У Подробнее »

Lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo Расширение Маклаурина e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .. ..... Следовательно, e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) + .......:. lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) ((x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .... ..) / x) = lim_ (x-> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + .......) = oo Подробнее »

Немного терпите меня, но оно включает в себя уравнение наклона-пересечения линии, основанное на 1-й производной ... И я хотел бы привести вас к способу сделать ответ, а не просто дать вам ответ ... Хорошо прежде чем я получу ответ, я расскажу вам о (несколько) юмористической дискуссии, которую мой соратник и я только что провели ... Я: "Хорошо, waitasec ... Вы не знаете g (x), но вы знаете, что производная верна для всех (х) ... Почему вы хотите сделать линейную интерпретацию, основанную на производной? Просто возьмите интеграл от производной, и у вас есть оригинальная формула ... Верно? " О.М .: Подожди, что? он Подробнее »

F выпуклый в RR. Решил, я думаю. f дифференцируется в 2 раза в RR, поэтому f и f 'непрерывны в RR. Имеем (f' (x)) ^ 3 + 3f '(x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 Дифференцирование обеих частей мы получаем 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <=> 3f' '(x) ((f' (x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 f '(x) ^ 2> = 0, поэтому f' (x) ^ 2 + 1> 0 <=> f '' ( x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) Нам нужен знак числителя, поэтому мы рассмотрим новую функцию g ( x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2, xinRR g '( Подробнее »

Это проблема, связанная с типом ставок (изменений). Интересующие переменные: a = высота, A = площадь, и, поскольку площадь треугольника A = 1 / 2ba, нам нужно b = base. Указанные скорости изменения приведены в единицах в минуту, поэтому (невидимой) независимой переменной является t = время в минутах. Нам дают: (да) / DT = 3/2 см / мин (дА) / DT = 5 см "" ^ 2 / мин. И нас просят найти (дБ) / DT, когда а = 9 см и А = 81 см «» ^ 2 A = 1 / 2ba, дифференцируя по t, получим: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Нам понадобится правило продукта справа. (dA) / dt = 1/2 (дБ) / dt a + 1 / 2b (da) / dt Нам были даны все Подробнее »

V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 Площадь является решением этой системы: {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} И это схематично показано на этом графике: Формула для объема вращения по оси x: V = pi * int_a ^ bf ^ 2 (z) dz. Чтобы применить формулу, мы должны перевести полумесяц по оси X, площадь не изменится, и поэтому не изменится и громкость: y = -x ^ 2 + 2x + 3color (red) (- 3 ) = - x ^ 2 + 2x y = 3color (red) (- 3) = 0 Таким образом, мы получаем f (z) = - z ^ 2 + 2z. Переведенная область теперь изображена здесь: Но каковы a и b интеграла? Решения системы: {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} Таким образом, a = 0 и b = 2. Перепиш Подробнее »

Увидеть ниже. Я надеюсь, что это помогает. Частная производная неразрывно связана с общей вариацией. Предположим, у нас есть функция f (x, y), и мы хотим знать, насколько она меняется, когда мы вводим приращение для каждой переменной. Исправляя идеи, делая f (x, y) = kxy, мы хотим знать, как много это df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y). В нашем примере функции мы иметь f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = kxy + kx dx + ky dy + k dx dy, а затем df (x, y) = kxy + kx dx + ky dy + k dx dy-k xy = kx dx + ky dy + k dx dy Выбор dx, dy сколь угодно мал, затем dx dy, приблизительно 0, а затем df (x, y) = kx dx + ky dy, Подробнее »

Вот как я это делаю: - я позволю некоторым "" theta = arcsin (9x) "" и некоторым "" alpha = arccos (9x). Итак, я получаю "" sintheta = 9x "" и "" cosalpha = 9x Я различаю оба неявно, как это: => (costheta) (d (theta)) / (dx) = 9 "" => (d (theta)) / (dx) = 9 / (costheta) = 9 / (sqrt (1-sin ^ 2theta)) = 9 / (sqrt (1- (9x) ^ 2) - Далее я различаю косальфу = 9x => (- синальфа) * (d (альфа)) / (dx) = 9 "" => (d (альфа)) / (dx) = - 9 / (sin (альфа)) = - 9 / (sqrt (1-косальфа)) = = 9 / sqrt (1- (9x) ^ 2) В целом, "" f (x) = тета Подробнее »

Нормальная строка: у = (х-2-е ^ 4) / е ^ 2. Касательная линия: у = е ^ 2х -е ^ 2. Для интуиции: представьте, что функция f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy описывает высоту некоторого ландшафта, где x и y - координаты в плоскости, а ln (y) предполагается естественным логарифм. Тогда все (x, y) такие, что f (x, y) = a (высота) равна некоторой константе a, называются кривыми уровня. В нашем случае постоянная высота a равна нулю, так как f (x, y) = 0. Возможно, вы знакомы с топографическими картами, на которых закрытые линии обозначают линии одинаковой высоты. Теперь градиент grad f (x, y) = ((частичное f) / (частичное x), (частичн Подробнее »

C = 4 Среднее значение: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Таким образом, среднее значение (-4 / c + 4) / (c-1) Решение (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 дает нам c = 4. Подробнее »

Dy / dx равно нулю для x = -2 pm sqrt (11), а dy / dx не определено для x = -2 Найдите производную: dy / dx = (d (x ^ 2 - 3x + 1)) / dx 1 / (x + 2) + (x ^ 2 - 3x + 1) (d) / (dx) (1 / (x + 2)) = (2x-3) / (x + 2) - (x ^ 2 - 3x + 1) 1 / (x + 2) ^ 2 = ((2x-3) (x + 2) - (x ^ 2 - 3x + 1)) / (x + 2) ^ 2 = (2x ^ 2 - 3x + 4x -6 - x ^ 2 + 3x-1) / (x + 2) ^ 2 = (x ^ 2 + 4x -7) / (x + 2) ^ 2 в соответствии с правилом продукта и различными упрощениями. Найти нули: dy / dx = 0 тогда и только тогда, когда x ^ 2 + 4x -7 = 0. Корни этого полинома: x_ {1,2} = (1/2) (- 16:00 sqrt (4 ^ 2 - 4 (-7))) = -2 pm sqrt (11), поэтому dy / dx = 0 для х Подробнее »

Dy / dx = 3sqrtx y = 2xsqrtx = uv dy / dx = u (dv) / dx + v (du) / dx u = 2x (du) / dx) = 2 v = sqrtx = x ^ (1/2) ( dv) / (dx) = 1/2 * x ^ (1 / 2-1) = x ^ (- 1/2) / 2 dy / dx = 2x * x ^ (- 1/2) / 2 + 2 * х ^ (1/2) = sqrtx + 2sqrtx = 3sqrtx Подробнее »

F (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) "Теперь возьми" C_1 (y) = y ^ 6 + c C_2 (x) = x ^ 4 + c "Тогда мы имеем один и тот же f, который удовлетворяет условиям." => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c Подробнее »

Максимум: 1/2 Минимум: -1/2 Альтернативный подход состоит в том, чтобы переставить функцию в квадратное уравнение. Например: f (x) = x / (1 + x ^ 2) rarrf (x) x ^ 2 + f (x) = xrarrf (x) x ^ 2-x + f (x) = 0 Пусть f (x) ) = c "" чтобы он выглядел аккуратнее :-) => cx ^ 2-x + c = 0 Напомним, что для всех действительных корней этого уравнения дискриминант является положительным или равен нулю. Итак, (-1) ^ 2- 4 (c) (c)> = 0 "" => 4c ^ 2-1 <= 0 "" => (2c-1) (2c + 1) <= 0 Легко понять, что -1/2 < = c <= 1/2 Следовательно, -1/2 <= f (x) <= 1/2. Это показывает, что максим Подробнее »

Кривая пересечения может быть параметризована как (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9). Я не уверен, что вы подразумеваете под векторной функцией. Но я понимаю, что вы пытаетесь представить кривую пересечения между двумя поверхностями в постановке вопроса. Поскольку цилиндр симметричен относительно оси z, может быть проще выразить кривую в цилиндрических координатах. Измените на цилиндрические координаты: x = r cos theta y = r sin theta z = z. r - расстояние от оси z, а theta - угол против часовой стрелки от оси x в плоскости x, y. Тогда первая поверхность становится x ^ 2 + y ^ 2 = 81 r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = Подробнее »

Общее решение: phi = Ae ^ (- (8pi ^ 2mE) / h ^ 2x) Мы не можем идти дальше, так как v не определено. Мы имеем: (dphi) / dx + k phi = 0 Это ODE первого порядка, поэтому мы можем написать: (dphi) / dx = - k phi 1 / phi (dphi) / dx = - k Теперь, мы разделяем переменные, чтобы получить int 1 / phi d phi = - int k dx, который состоит из стандартных интегралов, поэтому мы можем интегрировать: ln | фи | = -kx + lnA:. | Фи | = Ae ^ (- kx) Заметим, что экспонента положительна по всей ее области, а также мы записали C = lnA как константу интегрирования. Затем мы можем записать общее решение в виде: phi = Ae ^ (- kx) = Ae ^ (- (8pi Подробнее »

Y = - (3x) /14-2,53 "Касательная": d / dx [f (x)] = f '(x) "Normal": - 1 / (f' (x)) = - 1 / (d / дх [cscx + Tanx-cotx]) = - 1 / (д / дх [cscx] + д / дх [Tanx] -d / дх [cotx]) = - 1 / (- + cscxcotx сек ^ 2х + CSC ^ 2x ) -1 / (f '(- pi / 3)) = - 1 / (- csc (-pi / 3) cot (-pi / 3) + sec ^ 2 (-pi / 3) + csc ^ 2 (- pi / 3)) = - 1 / (14/3) = - 3/14 y = mx + cf (a) = ma + c csc (-pi / 3) + tan (-pi / 3) -cot (- пи / 3) = - пи / 3 (-3/14) + сс = CSC (-pi / 3) + тангенс (-pi / 3) -cot (-pi / 3) + пи / 3 (-3/14 ) с = -2,53 у = - (3х) / 14-2,53 Подробнее »

(dy) / (dx) = secxtanx-sec ^ 2x Чтобы дифференцировать secx здесь '/ как это происходит: secx = 1 / cosx Вы должны применить фактор-правило: это "знаменатель (cosx)" xx "производная числителя" ( 1) - «производная от знаменателя (cosx) числителя» xx «производная от знаменателя» (cosx) И ВСЕ, ЧТО - :( «знаменатель») ^ 2 (d (secx)) / (dx) = (cosx (0) - 1 (-sinx)) / (cosx) ^ 2 = sinx / cos ^ 2x = 1 / cosx xx sinx / cosx = color (blue) (secxtanx) Теперь мы переходим к tanx Тот же принцип, что и выше: (d (tanx)) / (ах) = (cosx (cosx) -sin (-cosx)) / (cosx) ^ 2 = (соз ^ 2х + г Подробнее »

Pi ln3 Если tan (3 ^ x) = 0, то sin (3 ^ x) = 0 и cos (3 ^ x) = + -1, поэтому 3 ^ x = kpi для некоторого целого числа k. Нам сказали, что на [0,1.4] есть один ноль. Этот ноль НЕ x = 0 (так как tan 1! = 0). Наименьшее положительное решение должно иметь 3 ^ x = pi. Следовательно, x = log_3 пи. Теперь давайте посмотрим на производную. f '(x) = sec ^ 2 (3 ^ x) * 3 ^ x ln3 Мы знаем сверху, что 3 ^ x = pi, поэтому в этот момент f' = sec ^ 2 (pi) * pi ln3 = (- 1 ) ^ 2 пи лн3 = пи лн3 Подробнее »

A = 2 и b = -4 Дано: y = ax ^ 2 + bx, y (1) = -2 Из заданного можно заменить 1 на x и 2 на y и написать следующее уравнение: -2 = a + b " [1] «Мы можем написать второе уравнение, используя, что первая производная равна 0, когда x = 1 dy / dx = 2ax + b 0 = 2a + b» [2] «Вычесть уравнение [1] из уравнения [2]: 0 - -2 = 2a + b - (a + b) 2 = aa = 2 Найдите значение b, подставив a = 2 в уравнение [1]: -2 = 2 + b -4 = bb = -4 Подробнее »

(df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) из определения производной и с некоторыми ограничениями. Пусть f (x) = x ^ 2 sin (x). Тогда (df) / dx = lim_ {h to 0} (f (x + h) - f (x)) / h = lim_ {h to 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h to 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h с помощью тригонометрического тождества и некоторых упрощений. На эти Подробнее »

-sin (x ^ 2 + 1) * 2x d / dx cos (x ^ 2 + 1) Для этой задачи нам нужно использовать правило цепочки, а также тот факт, что производная от cos (u) = -sin ( и). Цепное правило в основном просто утверждает, что вы можете сначала вывести внешнюю функцию относительно того, что находится внутри функции, а затем умножить это на производную того, что находится внутри функции. Формально dy / dx = dy / (du) * (du) / dx, где u = x ^ 2 + 1. Сначала нам нужно определить производную бита внутри косинуса, а именно 2x. Затем, найдя производную косинуса (отрицательный синус), мы можем просто умножить его на 2х. = -Sin (х ^ 2 + 1) * 2x Подробнее »

1568 * пи куб. / Мин. Если радиус равен r, то скорость изменения r относительно времени t, d / dt (r) = 2 см / мин. Объем как функция радиуса r для сферического объекта равен V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 Нам нужно найти d / dt (V) при r = 14 см. Теперь d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Но d / dt (r) = 2 см / мин. Таким образом, d / dt (V) при r = 14 см составляет: 4pi * 14 ^ 2 * 2 куб. См / мин = 1568 * пи куб. Подробнее »

Это проблема связанных курсов (изменений). Скорость нагнетания воздуха будет измеряться в объеме в единицу времени. Это скорость изменения объема во времени. Скорость вдувания воздуха такая же, как скорость увеличения объема баллона. V = 4/3 пи г ^ 3 Мы знаем (др) / (дт) = 5 "см / сек". Мы хотим (dV) / (dt), когда r = 13 "см". Дифференцируйте V = 4/3 pi r ^ 3 неявно по отношению к td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) (dV) / (dt) = 4/3 pi * 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) Подключите то, что вы знаете, и решите за то, чего вы не знаете. (dV) / (dt) = 4 пи (13 "см") ^ 2 (5 "см Подробнее »

Y = A e ^ -x + x - 1 "Это линейная разность первого порядка. Уравнение. Существует общий метод" "для решения уравнений такого типа. Однако здесь ситуация проще" ". «Сначала найдите решение однородного уравнения (=« »то же уравнение с правой частью, равной нулю:« {dy} / {dx} + y = 0 ». Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. . "" Мы можем решить те с заменой "y = A e ^ (rx): r A e ^ (rx) + A e ^ (rx) = 0 => r + 1 = 0" (после деления на "A e ^ (rx) ")" => r = -1 => y = A e ^ -x "Тог Подробнее »

«См. Объяснение» «Умножить на» 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) «Тогда вы получите» lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(потому что" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(потому что" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x-> Подробнее »

Ду / дх = - (т (т-4) ^ 2) / (2 (1-т ^ 2) ^ 2) = - т / 2 ((т-4) / (1-т ^ 2)) ^ 2 dy / dx = (y '(t)) / (x' (t)) y (t) = 1 / (1-t ^ 2) y '(t) = ((1-t ^ 2) d / dt [1] -1d / dt [1-t ^ 2]) / (1-t ^ 2) ^ 2 цвет (белый) (y '(t)) = (- (- 2t)) / (1-t ^ 2) ^ 2 цвет (белый) (y '(t)) = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 x (t) = t / (t-4) x' (t) = ((t -4) d / dt [t] -td / dt [t-4]) / (t-4) ^ 2 (белый) (x '(t)) = (t-4-t) / (t- 4) ^ 2 цвет (белый) (x '(t)) = - 4 / (t-4) ^ 2 dy / dx = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 -: - 4 / (t -4) ^ 2 = (2t) / (1-т ^ 2) ^ 2xx- (т-4) ^ 2/4 = (- 2t (т-4) ^ 2) / (4 (1-т ^ 2 ) ^ 2) = - (т (т-4) ^ 2) / Подробнее »

Этот интеграл не существует. Поскольку ln x> 0 в интервале [1, e], мы имеем sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x здесь, так что интеграл становится int_1 ^ e dx / {x ln x} Замените ln x = u, затем dx / x = du так, чтобы int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u Это неправильный интеграл, так как подынтегральное выражение расходится в нижнем пределе. Это определяется как lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u, если таковой существует. Теперь int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l, поскольку это расходится в пределе l -> 0 ^ +, интеграл не существует. Подробнее »

При x = 1 Рассмотрим знаменатель. x ^ 2 + 2x -3 Может быть записано как: x ^ 2 + 2x +1 -4 (x + 1) ^ 2 -4 (x + 1) ^ 2 -2 ^ 2 Теперь из отношения a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab) имеем (x + 1 +2) (x + 1 -2)) (x + 3) (x-1)) Если x = 1, знаменатель в функции выше равен нулю и функция стремится к oo и не дифференцируема. Прерывистый Подробнее »

V = 4 / 3r ^ 3pi (dV) / (dt) = 4/3 (3r ^ 2) (dr) / dtpi (dV) / (dt) = (4r ^ 2) (dr) / (dt) pi Теперь мы смотрим на наши количества, чтобы увидеть, что нам нужно и что у нас есть. Итак, мы знаем скорость, с которой меняется громкость. Мы также знаем начальный объем, который позволит нам решить для радиуса. Мы хотим знать скорость изменения радиуса через 7 часов. 340 = 4 / 3r ^ 3pi 255 = r ^ 3pi 255 / pi = r ^ 3 root (3) (255 / pi) = r Подставим это значение для «r» внутри производной: (dV) / (dt) = 4 (root (3) (255 / pi)) ^ 2 (dr) / (dt) pi Мы знаем, что (dV) / (dt) = -17, поэтому через 7 часов он растает -119 &qu Подробнее »

-3. Пусть f (x) = ([2-x] + [x-2] -x). Мы найдем Левый и Правый Предел f как x to2. От х до 2-, х <2; «предпочтительно, 1 <х <2». Добавляя -2 к неравенству, мы получим, -1 lt (x-2) <0, и, умножив неравенство на -1, получим, 1 gt 2-x gt 0.:. [x-2] = - 1 ....... и ................. [2-x] = 0. rArr lim_ (от x до 2-) f (x) = (0 + (- 1) -2) = - 3 ....................... ( star_1). От x до 2+, x gt 2; «предпочтительно» 2 lt x lt 3.:. 0 lt (x-2) lt 1 и -1 lt (2-x) lt 0.:. [2-x] = - 1, ....... и .............. [x-2] = 0. rArr lim_ (от x до 2+) f (x) = (- 1 + 0-2) = - 3 ......................... ( sta Подробнее »

Увидеть ниже. Производная скорости - ускорение, то есть наклон графика времени скорости - ускорение. Взяв производную функции скорости: v '= 2 - 2sin (2t) Мы можем заменить v' на a. a = 2 - 2sin (2t) Теперь установите a в 0. 0 = 2 - 2sin (2t) -2 = -2sin (2t) 1 = sin (2t) pi / 2 = 2t t = pi / 4 Так как мы знаем, что 0 <t <2 и периодичность функции sin (2x) равна pi, мы видим, что t = pi / 4 - единственный раз, когда ускорение будет равно 0. Подробнее »

Ответ = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C Нам нужно (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Интегрирование по частям - это intu'v = uv-intuv 'Здесь мы имеем u' = 1, =>, u = xv = "arc "secx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Поэтому int" arc "secxdx = x" arc "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Выполните второй интеграл путем подстановки. Пусть x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu) = intsecudu = int (secu (se Подробнее »

Расстояние меняется в квадрате (1476) / 2 узла в час. Пусть расстояние между двумя лодками будет d, а количество часов, которое они прошли, - h. По теореме Пифагора мы имеем: (15h) ^ 2 + (12h) ^ 2 = d ^ 2 225h ^ 2 + 144h ^ 2 = d ^ 2 369h ^ 2 = d ^ 2 Теперь мы дифференцируем это по времени. 738h = 2d ((dd) / dt) Следующим шагом является определение расстояния между двумя лодками после двух часов. Через два часа лодка на север будет развивать скорость 30 узлов, а лодка на запад - 24 узла. Это означает, что расстояние между ними равно d ^ 2 = 24 ^ 2 + 30 ^ 2 d = sqrt (1476). Теперь мы знаем, что h = 2 и sqrt (1476). 738 (2) = Подробнее »

78,1 миль / ч. Автомобиль A едет на юг, а автомобиль B едет на запад, принимая точку начала, где автомобили начинают уравнение автомобиля A = Y = -60t Уравнение автомобиля B = X = -25t Расстояние D = (X ^ 2 + Y ^ 2) ^ 0,5 D = (2500тт + 3600тт) ^ 0,5 D = (6100тт) ^ 0,5 D = 78,1 * t скорость изменения D dD / dt = 78,1 скорость изменения расстояния между автомобилями составляет 78,1 м / ч. Подробнее »

А) N (14) = 3100-400 кв. кв. 2 ~ 2534 (белый) (... |) N (34) = 3900-400 кв. 2 ~ 3334 б) N (т) = 400 кв. (t + 2) + 1500- 400sqrt2 Начнем с решения для N (t). Мы можем сделать это, просто интегрируя обе части уравнения: N '(t) = 200 (t + 2) ^ (- 1/2) int N' (t) dt = int 200 (t + 2) ^ (- 1/2) dt Мы могли бы сделать u-замену с u = t + 2, чтобы оценить интеграл, но мы признаем, что du = dt, поэтому мы можем просто притвориться, что t + 2 является переменной, и использовать степень правило: N (t) = (200 (t + 2) ^ (1/2)) / (1/2) + C = 400sqrt (t + 2) + C Мы можем решить для константы C, так как мы знаем, что N (0) = 1500: Подробнее »

Давайте возьмем некоторые производные! Для f (x) = 1 - x - e ^ (- 3x) / x имеем f '(x) = - 1 - (-3xe ^ (- 3x) -e ^ (- 3x)) / x ^ 2 Это упрощает (вроде) до f '(x) = - 1 + e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 Следовательно, f' '(x) = e ^ (- 3x) (- 3x-2 ) / x ^ 3-3e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3-3 (3x + 1) / x ^ 2 ) = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3 + (- - 9x-3) / x ^ 2) = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3 + (-9x ^ 2-3x) / x ^ 3) = e ^ (- 3x) ((- 9x ^ 2-6x-2) / x ^ 3) Теперь пусть x = 4. f '' (4) = e ^ (- 12) ((- 9 (16) ^ 2-6 (4) -2) / 4 ^ 3) Заметим, что экспонента всегда положительна. Числи Подробнее »

Dy / dx = 2 / x ^ 2 Вы можете испытать искушение использовать здесь неявное дифференцирование, но, поскольку у вас есть относительно простое уравнение, гораздо проще решить для y в терминах x, а затем просто использовать нормальное дифференцирование. Итак: 2 + xy = x => y = (x-2) / x = 1 - 2 / x Теперь мы просто используем простое степенное правило: => dy / dx = - (- 2x ^ -2) = 2 / х ^ 2 Вот ты где! Обратите внимание, что вы могли бы использовать неявное дифференцирование для решения этой проблемы, но, сделав это, мы получили производную в терминах просто x, что немного удобнее. Однако, независимо от используемого ва Подробнее »

Неверно. Как вы полагали, интервал должен быть закрыт, чтобы утверждение было верным. Чтобы дать явный контрпример, рассмотрим функцию f (x) = 1 / x. f непрерывна на RR {0} и, следовательно, непрерывна на (0,1). Однако, так как lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = oo, явно в точке (0,1) нет такой точки c, чтобы f (c) была максимальной в пределах (0,1). Действительно, для любого c из (0,1) имеем f (c) <f (c / 2). Таким образом, утверждение не верно для f. Подробнее »

Пожалуйста, обратитесь к объяснению. Чтобы показать, что h непрерывен, нам нужно проверить его непрерывность при x = 3. Мы знаем, что h будет продолжен при x = 3, если и только если, lim_ (от x до 3-) h (x) = h (3) = lim_ (от x до 3+) h (x) ............ ................... (AST). От х до 3-, х лт 3:. (х) = - х ^ 2 + 4x + 1. :. lim_ (от x до 3-) h (x) = lim_ (от x до 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) +1, rArr lim_ (от x до 3-) (х) = 4 ............................................ .......... (аст ^ 1). Аналогично, lim_ (от x до 3+) h (x) = lim_ (от x до 3+) 4 (0,6) ^ (x-3) = 4 (0,6) ^ 0. rArr lim_ (от x до 3+) h (x) = Подробнее »

Функция непрерывна во всей своей области. Область f (x) = 1 / sqrtx - это открытый интервал (0, oo). Для каждой точки a в этом интервале f является частным двух непрерывных функций - с ненулевым знаменателем - и поэтому является непрерывным. Подробнее »

Root (4) (84) ~~ 3.03 Обратите внимание, что 3 ^ 4 = 81, что близко к 84. Таким образом, root (4) (84) немного больше 3. Чтобы получить лучшее приближение, мы можем использовать линейный приближение, он же метод Ньютона. Определите: f (x) = x ^ 4-84. Тогда: f '(x) = 4x ^ 3 и с учетом приблизительного нуля x = a для f (x), лучшее приближение: a - (f (a)) / (f '(a)) Таким образом, в нашем случае, полагая a = 3, лучшим приближением будет: 3- (f (3)) / (f' (3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02 бар (7) Это почти точно до 4 значащих цифр, но давайте процитируем приближе Подробнее »

Это легко увидеть, как это невозможно выполнить элементарными средствами, поэтому я просто решил это численно и получил: я вычислил интеграл для n = 1, 1,5, 2,. , , 9,5, 10, 25, 50, 75, 100. К тому времени он явно достигал 0,5. Подробнее »

2 Для любой строки: {(y = mx + b), (y '= m):} qquad m, b в RR Включение в DE: m + xm ^ 2 - y = 0 означает y = m ^ 2 x + m qquad qquad = mx + bm = m ^ 2 означает, что m = 0,1 означает, что b = 0,1:. y = {(0), (x + 1):} оба удовлетворяют DE Подробнее »

(П (х ^ 2 + 1)) / х ^ 2 = sum_ (п = 1) ^ оо (-1) ^ (п + 1) / щ ^ (2n-2) = 1-х ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 ... Нам известны следующие ряды Маклаурина для ln (x + 1): ln (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n +1) / nx ^ n = xx ^ 2/2 + x ^ 3/3 ... Мы можем найти ряд для ln (x ^ 2 + 1), заменив все x на x ^ 2: ln (x ^ 2 + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n Теперь мы можем просто разделить на x ^ 2, чтобы найти ряд, который мы ищем: (ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = = sum_ (n = 1 ) ^ оо (-1) ^ (п + 1) / п * х ^ (2n) / х ^ 2 = sum_ (п = 1) ^ оо (-1) ^ (п + 1) / щ ^ ( Подробнее »

Общие шаги: Нарисуйте треугольник в соответствии с заданной информацией, пометив соответствующую информацию. Определите, какие формулы имеют смысл в данной ситуации (Площадь всего треугольника, основанная на двух сторонах фиксированной длины, и отношения триггеров прямоугольных треугольников для переменной высоты). любые неизвестные переменные (высота) обратно к переменной (тета), которая соответствует единственной заданной скорости ((d theta) / (dt)) Сделайте некоторые замены в «основной» формуле (формуле площади), чтобы вы могли предвидеть использование Заданная скорость Различайте и используйте данную скорость Подробнее »

Мы начинаем эту проблему с нахождения точки касания. Замените значение 1 на x. x ^ 3 + y ^ 3 = 9 (1) ^ 3 + y ^ 3 = 9 1 + y ^ 3 = 9 y ^ 3 = 8 Не уверен, как показать кубический корень, используя нашу математическую запись здесь, на Сократе, но помните, что увеличение величины до 1/3 эквивалентно. Поднимите обе стороны до 1/3 степени (у ^ 3) ^ (1/3) = 8 ^ (1/3) у ^ (3 * 1/3) = 8 ^ (1/3) у ^ (3 / 3) = 8 ^ (1/3) y ^ (1) = 8 ^ (1/3) y = (2 ^ 3) ^ (1/3) y = 2 ^ (3 * 1/3) y = 2 ^ (3/3) y = 2 ^ (1) y = 2 Мы только что обнаружили, что когда x = 1, y = 2, завершите неявное дифференцирование 3x ^ 2 + 3y ^ 2 (dy / dx) = 0 Замените в э Подробнее »

Из того, что вы там говорите, все, что мы должны сделать, это показать, что hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ). Похоже, что в любом месте, где вы получили этот вопрос, нет смысла в определении hatT_L. В итоге мы докажем, что использование hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) дает [hatD, hatx] - = [ihatp_x // ℏ, hatx] = 1, а не hatT_L = e ^ (- LhatD). Если мы хотим, чтобы все было согласованно, то если hatT_L = e ^ (- LhatD), то это должно быть [hatD, hatx] = bb (-1). Я исправил вопрос и уже обратился к нему. Из первой части мы показали, что для этого определения (что hatT_L - = e ^ (LhatD)), [hatx, hatT_L] = -LhatT_L. Та Подробнее »

I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx Let, tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udurArrdx = 1 / 4сек ^ 2udu I = intu * 1 / 4сек ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu Используя Интеграцию по частям, I = 1/4 [u * intsec ^ 2udu-int (d / (du) (u) * intsec ^ 2udu) du] = 1/4 [u * tanu-int1 * tanudu] = 1/4 [и * тану-журнал | обесп |] + С = 1/4 [загар ^ -1 (4x) * (4x) -log | SQRT (1 + загар ^ 2u |] + С = х * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C Второй метод: (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx = tan ^ -1 (4x) * x-int Подробнее »

Подстановкой и интегрированием по частям int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Давайте рассмотрим некоторые детали. int ln (2x + 1) dx подстановкой t = 2x + 1. Правая стрелка {dt} / {dx} = 2 Правая стрелка {dx} / {dt} = 1/2 Правая стрелка dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt путем интегрирования по частям, пусть u = ln t и dv = dt Правая стрелка du = dt / t и v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C путем вычета t, = 1 / 2t (lnt-1) + C возвращая t = 2x + 1 обратно, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Подробнее »

Наша цель - уменьшить мощность ln x, чтобы легче было оценить интеграл. Мы можем сделать это, используя интеграцию по частям. Имейте в виду формулу IBP: int u dv = uv - int v du Теперь мы будем обозначать u = (lnx) ^ 2 и dv = dx. Следовательно, du = (2lnx) / x dx и v = x. Теперь, собирая части вместе, мы получаем: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Этот новый интеграл выглядит намного лучше! Немного упрощая и выводя константу вперед, получаем: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Теперь, чтобы избавиться от этого следующего интеграла, мы сделаем второе интегрирование по частям, положив u = ln Подробнее »

Интегрируя по частям, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C Давайте рассмотрим некоторые детали. Пусть u = sin ^ {- 1} x и dv = dx. Правая стрелка du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} и v = x Путем интегрирования по частям int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2 } dx Пусть и = 1-х ^ 2. Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / {- 2x} = -1 / 2intu ^ {- 1/2} du = -u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C Следовательно, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} х + SQRT {1-х ^ 2} + С Подробнее »

Используя Интеграцию по частям, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Помните, что Интеграция по частям использует формулу: intu dv = uv - intv du, которое основано на правиле произведения для производных: uv = vdu + udv Чтобы использовать эту формулу, мы должны решить, какой член будет u, а какой - dv. Полезный способ выяснить, какой термин идет, где метод ILATE. Логарифмы обратного триггера Экспоненты триггера алгебры Это дает вам порядок приоритета, какой термин используется для «u», так что все, что осталось, становится нашим dv. Наша функция содержит x ^ Подробнее »

При интегрировании по частям int x ^ 5lnx dx = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C Давайте рассмотрим некоторые детали. Пусть u = lnx и dv = x ^ 5dx. Правая стрелка du = {dx} / x и v = x ^ 6/6 В результате интегрирования по частям int udv = uv-int vdu мы имеем int (lnx) cdot x ^ 5dx = (lnx) cdot x ^ 6/6-int x ^ 6 / 6cdot dx / x путем небольшого упрощения, = x ^ 6 / 6lnx-int x ^ 5 / 6dx по степенному правилу, = x ^ 6 / 6lnx-x ^ 6/36 + C путем вычленения x ^ 6 / 36 = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C Подробнее »

Мы будем иметь в виду формулу для интегрирования по частям: int u dv = uv - int v du Чтобы успешно найти этот интеграл, мы положим u = x, а dv = cos 5x dx. Следовательно, du = dx и v = 1/5 sin 5x. (v можно найти, используя быструю подстановку u) Причина, по которой я выбрал x для значения u, заключается в том, что я знаю, что позже я в конечном итоге интегрирую v, умноженное на производную u. Поскольку производная от u равна 1, а интеграция функции триггера сама по себе не делает ее более сложной, мы фактически удалили x из подынтегрального выражения и теперь нам нужно беспокоиться только о синусе. Итак, подключившись к фо Подробнее »

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Процесс: int x e ^ (- x) dx =? Этот интеграл потребует интеграции по частям. Имейте в виду формулу: int u dv = uv - int v du. Пусть u = x, а dv = e ^ (- x) dx. Следовательно, du = dx. Нахождение v потребует u-замены; Я буду использовать букву q вместо u, поскольку мы уже используем u в формуле интегрирования по частям. v = int e ^ (- x) dx, пусть q = -x. таким образом, dq = -dx Перепишем интеграл, добавив два отрицания для размещения dq: v = -int -e ^ (- x) dx, записанные в терминах q: v = -int e ^ (q) dq Следовательно, v = -e ^ (q) Подстановка обратно для q дает нам: v = -e Подробнее »

Мы будем использовать интеграцию по частям. Вспомните формулу IBP: int u dv = uv - int v du Пусть u = ln x и dv = x dx. Мы выбрали эти значения, потому что мы знаем, что производная от ln x равна 1 / x, что означает, что вместо того, чтобы интегрировать что-то сложное (натуральный логарифм), мы теперь в конечном итоге интегрируем что-то довольно простое. (многочлен). Таким образом, du = 1 / x dx и v = x ^ 2 / 2. Включение в формулу IBP дает нам: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx x отменится от нового подынтегрального выражения: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx Теперь решение легко найти Подробнее »

= lim_ (h-> 0) ((x + h) ^ 2 + 9 (x + h) - 3 - (x ^ 2 + 9x - 3)) / h = lim_ (h-> 0) (x ^ 2 + 2xh + h ^ 2 + 9x + 9h - 3 - x ^ 2 - 9x + 3) / h = lim_ (h-> 0) (отмена (x ^ 2) + 2xh + h ^ 2 + отмена (9x) + 9h - отмена (3) - отмена (x ^ 2) - отмена (9x) + отмена (3)) / h = lim_ (h-> 0) (2xh + h ^ 2 + 9h) / h = lim_ (h-> 0) (h (2x + h + 9)) / h = lim_ (h-> 0) (отмена (h) (2x + h + 9)) / отмена (h) = lim_ (h-> 0) 2x + 0 + 9 = 2x + 9 Подробнее »

0.02083 (реальное значение 0.0208008) Это можно решить с помощью формулы Тейлора: f (a + x) = f (a) + xf '(a) + (x ^ 2/2) f' '(a) ... Если f (a) = a ^ (1/3) У нас будет: f '(a) = (1/3) a ^ (- 2/3) теперь, если a = 0,008, тогда f (a) = 0,2 и f '(a) = (1/3) 0,008 ^ (- 2/3) = 25/3 Так что, если x = 0,001, то f (0,009) = f (0,008 + 0,001) ~~ f (0,008) + 0,001xxf' (0,008) = = 0,2 + 0,001 * 25/3 = 0,2083 Подробнее »

Пожалуйста, смотрите ниже. Итак, f (x) = 1 / 2x - sinx, довольно простая функция для дифференциации. Напомним, что d / dx (sinx) = cosx, d / dx (cosx) = -inx и d / dx (kx) = k для некоторого k в RR. Следовательно, f '(x) = 1/2 - cosx. Следовательно, f '' (x) = sinx. Напомним, что если кривая «вогнутая вверх», то f '' (x)> 0, а если она "вогнутая вниз", то f "(x) <0. Мы можем довольно легко решить эти уравнения, используя наши знания графика y = sinx, который положителен от «четного» кратного числа pi до «нечетного» кратного, и отрицательный от «чет Подробнее »

Пусть: a_n = 5 + 1 / n, тогда для любого m, n в NN с n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) при n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / м -1 / n и при 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / м. Для любого действительного числа epsilon> 0 выберите целое число N> 1 / epsilon. Для любых целых чисел m, n> N имеем: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <эпсилон, который доказывает условие Коши для сходимости последовательности. Подробнее »

Используйте свойства экспоненциальной функции для определения N, например | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon для каждого m, n> N В определении сходимости говорится, что {a_n} сходится, если: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Итак, при заданном эпсилоне> 0 возьмем N> log_2 (1 / эпсилон) и m, n> N с m <n, как m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 так | 2 ^ (- м) - 2 ^ (- н) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1–2 ^ (mn)) Теперь, когда 2 ^ x всегда положительный, (1-2 ^ (mn)) <1, поэтому 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m), а та Подробнее »

1 «Обратите внимание, что:« color (red) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) «Так что здесь мы имеем» lim_ {x-> pi / 2} sin (cos (x )) / cos (x) "Теперь примените правило de l 'Hôptial:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / (- sin (x)) = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1 Подробнее »

F '(x) = (- 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) (кроватка (e ^ (4x))) ^ (- 1/2)) / 2 цвета (белый) (f' (x)) = - (2e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x))) / sqrt (cot (e ^ (4x)) f (x) = sqrt (cot (e ^ (4x))) цвет (белый) (f (x)) = sqrt (g (x)) f '(x) = 1/2 * (g (x)) ^ (- 1/2) * g' (x) цвет (белый ) (f '(x)) = (g' (x) (g (x)) ^ (- 1/2)) / 2 g (x) = кроватка (e ^ (4x)) цвет (белый) (г (x)) = кроватка (h (x)) g '(x) = - h' (x) csc ^ 2 (h (x)) h (x) = e ^ (4x) цвет (белый) (h ( x)) = e ^ (j (x)) h '(x) = j' (x) e ^ (j (x)) j (x) = 4x j '(x) = 4 h' (x) = 4e ^ (4x) g '(x) = - 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e Подробнее »

Lim_ (x-> 0) (lncotx) ^ tanx = 1 lim_ (x-> 0) tanx = 0 lim_ (x-> 0 ^ +) cotx = + oo lim_ (x-> 0 ^ -) cotx = -oo lim_ (x -> + oo) ln (x) = oo oo ^ 0 = 1, поскольку a ^ 0 = 1, a! = 0 (скажем, a! = 0, так как иначе это немного усложняется, некоторые говорят, что это 1, некоторые говорят 0, другие говорят, что оно не определено и т. д.) Подробнее »

Отношение радиуса r верхней поверхности воды к глубине воды w является постоянной величиной, зависящей от общих размеров конуса r / w = 5/10 rarr r = w / 2. Объем конуса вода задается формулой V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w или, в терминах просто w для данной ситуации, V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Нам говорят, что (dV) / (dt) = -3 (куб.фут / мин.) (dw) / ( dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) Когда w = 6, глубина воды равна изменяется со скоростью (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) Выражается в терминах того, насколько б Подробнее »

Пусть V - объем воды в резервуаре, в см ^ 3; пусть h - глубина / высота воды в см; и пусть r будет радиусом поверхности воды (сверху), в см. Поскольку бак представляет собой перевернутый конус, то же самое происходит с массой воды. Поскольку высота резервуара составляет 6 м, а радиус на вершине 2 м, из аналогичных треугольников следует, что frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, так что h = 3r. Тогда объем перевернутого конуса воды равен V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Теперь дифференцируем обе стороны по времени t (в минутах), чтобы получить frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (в этом случае использует Подробнее »

= (5) / (9 pi) фут / мин. Для заданной высоты h жидкости в цилиндре или радиусе r объем равен V = pi r ^ 2 h. Дифференциация по времени точка V = 2 pi r точка rh + pi r ^ 2 точка h, но точка r = 0, поэтому точка V = pi r ^ 2 точка h точка h = точка V / (pi r ^ 2) = (5) / (pi (3 ^ 2)) = (5) / (9 пи) фут / мин Подробнее »

40pi "cm" ^ 2 "/ min" Во-первых, мы должны начать с известного нам уравнения, связывающего площадь круга, бассейн и его радиус: A = pir ^ 2 Однако мы хотим посмотреть, насколько быстро будет площадь пул увеличивается, что очень похоже на скорость ... что звучит очень похоже на производную. Если мы возьмем производную A = pir ^ 2 по времени, t, мы увидим, что: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (не забывайте, что правило цепочки применяется справа со стороны, с r ^ 2 - это похоже на неявное дифференцирование.) Итак, мы хотим определить (dA) / dt. Этот вопрос сказал нам, что (dr) / dt = 4, когда он сказал, ч Подробнее »

R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 Позвольте мне повторить вопрос, насколько я понимаю. При условии, что площадь поверхности этого объекта составляет 200pi, максимизируйте объем. План Зная площадь поверхности, мы можем представить высоту h как функцию радиуса r, тогда мы можем представить объем как функцию только одного параметра - радиуса r. Эту функцию нужно максимизировать, используя r в качестве параметра. Это дает значение r. Площадь поверхности содержит: 4 стенки, которые образуют боковую поверхность параллелепипеда с периметром основания 6r и высотой h, которые имеют общую площадь 6rh.1 крыша, половина боковой пов Подробнее »

Когда самолет находится в 2 милях от радиолокационной станции, скорость увеличения его расстояния составляет приблизительно 433 миль / ч. Следующее изображение представляет нашу проблему: P - это положение самолета. R - это положение радиолокационной станции. V - это точка, расположенная вертикально относительно радиолокационной станции на высоте самолета. H - это высота самолета. D - это расстояние между плоскостью и радиолокационной станцией. расстояние между плоскостью и точкой V Поскольку плоскость летит горизонтально, мы можем заключить, что PVR является прямоугольным треугольником. Поэтому теорема Пифагора позволяет Подробнее »

Давайте найдем пределы на бесконечности. lim_ {x to + infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x} путем деления числителя и знаменателя на 2 ^ x, = lim_ {x to + infty} {5/2 ^ x + 1 } / {1/2 ^ x-1} = {0 + 1} / {0-1} = - 1 и lim_ {x to -infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x} = {5 + 0} / {1-0} = 5 Следовательно, его горизонтальные асимптоты имеют вид y = -1 и y = 5. Они выглядят так: Подробнее »

Увидеть ниже. int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) и k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3), но k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) и k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2), поэтому k ^ 6 -2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) или {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} тогда, наконец, действительные значения k = {-2,2} комплексные значения k = {-1pm я sqrt3,1pm я sqrt3} Подробнее »

Подробнее »

Мы имеем: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Шаг 1 - Найти частные производные Мы вычисляем частную производную функции двух или более переменные путем дифференцирования по одной переменной, в то время как другие переменные рассматриваются как постоянные. Таким образом: Первыми производными являются: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1-x ^ 2-xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Подробнее »

Dy / dx = (xcos (x) + sin (x) - 1) / (x + cos (x)) ^ 2 "Во-первых, давайте вспомним правило отношения:" qquad qquad qquad qquad qquad [f (x) / g (x)] ^ ' = {g (x) f' (x) - f (x) g '(x)} / {g (x) ^ 2} quad. "Нам дана функция дифференцирования:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad y = {2 + sinx} / {x + cosx} quad. Используйте фактор-правило для получения следующего: y '= {[(x + cosx) (2 + sinx)'] - [(2 + sinx) (x + cosx) ']} / (x + cosx) ^ 2 y '= {[(x + cosx) (cosx)] - [(2 + sinx) (1-sinx)]} / (x + cos x) ^ 2, умножив числитель, вы получите следующее: y' = Подробнее »

Параметрические уравнения полезны, когда положение объекта описывается в терминах времени t. Давайте посмотрим на пару примеров. Пример 1 (2-D) Если частица движется по круговой траектории радиуса r с центром в (x_0, y_0), то ее положение в момент времени t можно описать параметрическими уравнениями, такими как: {(x (t) = x_0 + rcost ), (y (t) = y_0 + rsint):} Пример 2 (3-D) Если частица поднимается по спиральной траектории радиуса r с центром в направлении оси z, то ее положение в момент времени t можно описать параметрическим уравнения типа: {(x (t) = rcost), (y (t) = rsint), (z (t) = t):} Параметрические уравнения полез Подробнее »

Полезные приложения в физике и технике. С точки зрения физика, полярные координаты (r и тета) полезны при расчете уравнений движения для множества механических систем. Довольно часто у вас есть объекты, движущиеся по кругу, и их динамику можно определить с помощью методов, называемых лагранжианом и гамильтонианом системы. Использование полярных координат в пользу декартовых координат очень хорошо упростит ситуацию. Следовательно, ваши производные уравнения будут аккуратными и понятными. Помимо механических систем, вы можете использовать полярные координаты и расширять их в 3D (сферические координаты). Это очень поможет в в Подробнее »

Разделимое уравнение обычно выглядит так: {dy} / {dx} = {g (x)} / {f (y)}. Умножая на dx и на f (y), чтобы разделить x и y, правая стрелка f (y) dy = g (x) dx, интегрируя обе стороны, направляет стрелку int f (y) dy = int g (x) dx, что дает Мы неявно выразили решение: Правая стрелка F (y) = G (x) + C, где F и G - антипроизводные f и g соответственно. Для более подробной информации, пожалуйста, посмотрите это видео: Подробнее »

Предел равен 1. Lim_ (x -> 0) (3x) / (tan3x) = Lim_ (x -> 0) (3x) / ((sin3x) / (cos3x)) = Lim_ (x -> 0) (3xcos3x ) / (sin3x) = Lim_ (x -> 0) (3x) / (sin3x) .cos3x = Lim_ (x -> 0) цвет (красный) ((3x) / (sin3x)). cos3x = Lim_ (x - > 0) cos3x = Lim_ (x -> 0) cos (3 * 0) = Cos (0) = 1 Помните, что: Lim_ (x -> 0) цвет (красный) ((3x) / (sin3x)) = 1 и Lim_ (x -> 0) цвет (красный) ((sin3x) / (3x)) = 1 Подробнее »

Dy / dx = (e ^ y-ye ^ x) / (e ^ x-xe ^ y) Сначала мы берем d / dx каждого члена. d / dx [ye ^ x] = d / dx [xe ^ y] yd / dx [e ^ x] + e ^ xd / dx [y] = xd / dx [e ^ y] + e ^ yd / dx [ x] ye ^ x + e ^ xd / dx [y] = xd / dx [e ^ y] + e ^ y Используя правило цепочки, мы знаем, что: d / dx = d / dy * dy / dx ye ^ x + dy / dxe ^ xd / dy [y] = dy / dxxd / dy [e ^ y] + e ^ y ye ^ x + dy / dxe ^ x = dy / dxxe ^ y + e ^ y Теперь соберите вместе термины , dy / dxe ^ x-dy / dxxe ^ y = e ^ y-ye ^ x dy / dx (e ^ x-xe ^ y) = e ^ y-ye ^ x dy / dx = (e ^ y-ye ^ х) / (е ^ х-х ^ у) Подробнее »

Площадь = (32/3) u ^ 2, а объем = = (512 / 15pi) u ^ 3 Начните с поиска точки пересечения с осью X y = 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 Следовательно, x = 0 и x = 4 Площадь: dA = ydx A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx = [2x ^ 2-1 / 3x ^ 3] _0 ^ 4 = 32-64 / 3 -0 = 32 / 3u ^ 2 Объем dV = piy ^ 2dx V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2dx = piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx = pi [16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5] _0 ^ 4 = пи (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) = пи (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) = р (512/15) Подробнее »

F '(x) = 3x ^ 2sqrt (x-2) sinx + (x ^ 3sinx) / (2sqrt (x-2)) + x ^ 3sqrt (x-2) cosx Если f (x) = g (x) h (x) j (x), тогда f '(x) = g' (x) h (x) j (x) + g (x) h '(x) j (x) + g (x) h (x) ) j '(x) g (x) = x ^ 3 g' (x) = 3x ^ 2 h (x) = sqrt (x-2) = (x-2) ^ (1/2) h '(x ) = 1/2 * (x-2) ^ (- 1/2) * d / dx [x-2] цвет (белый) (h '(x)) = (x-2) ^ (- 1/2 ) / 2 * 1 цвет (белый) (h '(x)) = (x-2) ^ (- 1/2) / 2 цвета (белый) (h' (x)) = 1 / (2 кв. (X- 2)) j (x) = sinx j '(x) = cosx f' (x) = 3x ^ 2sqrt (x-2) sinx + x ^ 3 1 / (2sqrt (x-2)) sinx + x ^ 3sqrt (x-2) cosx f '(x) = 3x ^ 2sqrt (x- Подробнее »

Увеличение Чтобы определить, увеличивается или уменьшается функция f (x) в точке f (a), мы берем производную f '(x) и находим f' (a) / Если f '(a)> 0, то она увеличивается Если f '(a) = 0, то это перегиб. Если f' (a) <0, то оно уменьшается: f (x) = cosx + sinx f '(x) = - sinx + cosx f' (pi / 6) = cos (pi / 6) -sin (pi / 6) = (- 1 + sqrt (3)) / 2 f '(pi / 6)> 0, поэтому он увеличивается при f (pi / 6) Подробнее »

На [0,3] максимум равен 19 (при x = 3), а минимум равен -1 (при x = 1). Чтобы найти абсолютные экстремумы (непрерывной) функции на замкнутом интервале, мы знаем, что экстремумы должны иметь место либо в критических числах в интервале, либо в конечных точках интервала. f (x) = x ^ 3-3x + 1 имеет производную f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 никогда не бывает неопределенным и 3x ^ 2-3 = 0 при x = + - 1. Поскольку -1 не находится в интервале [0,3], мы отбрасываем его. Единственное критическое число, которое следует учитывать: 1. f (0) = 1, f (1) = -1 и f (3) = 19. Таким образом, максимум равен 19 (при x = 3), а минимум равен -1 Подробнее »

Там нет глобальных максимумов. Глобальный минимум равен -3 и имеет место при x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, где x f 1 f '(x) = 2x - 6 Абсолютные экстремумы возникают в конечной точке или в точке критическое число. Конечные точки: 1 и 4: x = 1 f (1): «неопределенный» lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Критическая точка (точки): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 При x = 3 f (3) = -3 Глобальных максимумов не существует. Там нет глобальных минимумов -3 и происходит при х = 3. Подробнее »

X = 0 - максимум функции. f (x) = 1 / (1 + x²) Давайте искать f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²). Итак, мы видим, что существует уникальное решение, f ' (0) = 0 А также, что это решение является максимумом функции, потому что lim_ (от x до ± oo) f (x) = 0, а f (0) = 1 0 / вот наш ответ! Подробнее »

Абсолютный максимум в f (.4636), приблизительно 2.2361 Абсолютный минимум в f (pi / 2) = 1 f (x) = 2cosx + sinx Найдите f '(x), дифференцируя f (x) f' (x) = - 2sinx + cosx Найти любые относительные экстремумы, установив f '(x) равным 0: 0 = -2sinx + cosx 2sinx = cosx В данном интервале единственное место, где f' (x) меняет знак (с помощью калькулятора), находится в x = .4636476 Теперь проверьте значения x, вставив их в f (x), и не забудьте включить границы x = 0 и x = pi / 2 f (0) = 2 color (blue) (f (. 4636) прибл. 2.236068) цвет (красный) (f (pi / 2) = 1) Следовательно, абсолютный максимум f (x) для x в [ Подробнее »

-3 (происходит при x = -3) и -28 (происходит при x = -2) Абсолютные экстремумы замкнутого интервала возникают в конечных точках интервала или при f '(x) = 0. Это означает, что нам нужно будет установить производную равной 0 и посмотреть, какие значения x нас получат, и мы должны будем использовать x = -3 и x = -1 (потому что это конечные точки). Итак, начнем с взятия производной: f (x) = x ^ 4-8x ^ 2-12 f '(x) = 4x ^ 3-16x Установка его равной 0 и решение: 0 = 4x ^ 3-16x 0 = x ^ 3-4x 0 = x (x ^ 2-4) x = 0 и x ^ 2-4 = 0 Таким образом, решения равны 0,2 и -2. Мы немедленно избавляемся от 0 и 2, потому что они не нахо Подробнее »

6 и -2 Абсолютные экстремумы (минимальное и максимальное значения функции за интервал) можно найти, оценив конечные точки интервала и точки, где производная функции равна 0. Мы начнем с оценки конечных точек интервал; в нашем случае это означает нахождение f (0) и f (4): f (0) = 2 (0) ^ 2-8 (0) + 6 = 6 f (4) = 2 (4) ^ 2-8 (4) + 6 = 6 Обратите внимание, что f (0) = f (4) = 6. Затем найдите производную: f '(x) = 4x-8-> с использованием степенного правила и найдите критические точки; т.е. значения, для которых f '(x) = 0: 0 = 4x-8 x = 2 Оценить критические точки (у нас есть только одна, x = 2): f (2) = 2 (2) ^ 2-8 Подробнее »

F (x) имеет абсолютный минимум 2 при x = 0 f (x) = 2 + x ^ 2 f (x) - парабола с единственным абсолютным минимумом, где f '(x) = 0 f' (x) = 0 + 2x = 0 -> x = 0: .f_min (x) = f (0) = 2 Это можно увидеть на графике f (x) ниже: график {2 + x ^ 2 [-9.19, 8.59, -0,97, 7,926]} Подробнее »

В [-8, 8] абсолютный минимум равен 0 при O. x = + -8 - вертикальные асимптоты. Итак, абсолютного максимума нет. Конечно, | F | до oo, от x до + -8 .. Первый - общий график. График симметричен относительно О. Второй для заданных пределов x в [-8, 8] графике {((2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) -y) (y-2x) = 0 [-160, 160, -80, 80]} graph {(2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) [-10, 10, -5, 5]} По фактическому делению y = f ( x) = 2x +127/2 (1 / (x + 8) + 1 / (x-8)), показывая наклонную асимптоту y = 2x и вертикальную асимптоту x = + -8. Таким образом, абсолютного максимума не существует, так как | y | оо, как х до + -8. у '= 2-127 / 2 (1 / (х + 8 Подробнее »

Абсолютный максимум: (pi / 4, pi / 4) абсолютный минимум: (0, 0) Дано: f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x в [0, pi / 4] Найти первую производную, используя правило произведения дважды , Правило произведения: (uv) '= uv' + v u 'Пусть u = 2x; "" u '= 2 Пусть v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x f' (x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + ... Для второй половины уравнения: пусть u = x; "" u '= 1 Пусть v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) f' (x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1 ) Упростить: f '(x) = отмен Подробнее »

Абсолютный максимум f (x) равен f (1) = 6, а абсолютный минимум равен f (0) = 0. Чтобы найти абсолютные экстремумы функции, нам нужно найти ее критические точки. Это точки функции, где ее производная либо равна нулю, либо не существует. Производная функции равна f '(x) = 3x ^ (- 2/3) -3. Эта функция (производная) существует везде. Давайте найдем, где он равен нулю: 0 = 3x ^ (- 2/3) -3rarr3 = 3x ^ (- 2/3) rarrx ^ (- 2/3) = 1rarrx = 1 Мы также должны рассмотреть конечные точки функции при поиске абсолютных экстремумов: три варианта экстремумов - это f (1), f (0) и f (5). Вычисляя их, мы находим, что f (1) = 6, f (0) = 0 Подробнее »

Абсолютный минимум равен (9 * root3 (9)) / 26 = 0,7200290. , , что происходит, когда х = 9. Абсолютный максимум равен (9 * root3 (2)) / 11 = 1,030844495. , , что происходит, когда х = 2. Абсолютными экстремумами функции являются наибольшее и наименьшее значения у функции в данной области. Этот домен может быть передан нам (как в этой задаче) или домен самой функции. Даже когда нам дана область, мы должны рассмотреть область самой функции, в случае, если она исключает любые значения области, которую нам дают. f (x) содержит показатель 1/3, который не является целым числом. К счастью, доменом p (x) = root3 (x) является (-oo, Подробнее »