Предположим, что у меня нет формулы для g (x), но я знаю, что g (1) = 3 и g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) для всех x. Как использовать линейное приближение для оценки g (0.9) и g (1.1)?

Немного терпите меня, но оно включает в себя уравнение наклона-пересечения линии, основанной на 1-й производной … И я хотел бы привести вас к пути к делать ответ не просто дать ты ответ …

Хорошо, прежде чем я получу ответ, я расскажу вам о (несколько) юмористической дискуссии, которую мой соратник и я только что провели

Я: "Хорошо, waitasec … Вы не знаете g (x), но вы знаете, что производная верна для всех (x) … Почему вы хотите сделать линейную интерпретацию, основанную на производной? Просто возьмите интеграл от производной, и у вас есть оригинальная формула … Верно?

О.М.: Подожди, что? он читает вопрос выше "Святой моли, я не делал этого годами!"

Таким образом, это привело к дискуссии между нами о том, как интегрировать это, но то, что профессор действительно хочет (вероятно), не состоит в том, чтобы вы делали обратную операцию (которая в некоторых случаях может быть действительно Твердо), но чтобы понять какие 1-я производная на самом деле

Таким образом, мы почесали свои головы и обдумали наши коллективные воспоминания, связанные с возрастом, и в конце концов согласились, что 2-я производная - это локальные максимумы / минимумы, а 1-я производная (та, которая вас волнует) - это скат кривой в данной точке.

Ну, а какое это имеет отношение к цене червей в Мексике? Что ж, если мы сделаем предположение, что наклон остается относительно постоянным для всех «соседних» точек (чтобы знать это, вам нужно взглянуть на кривую и использовать здравый смысл, основываясь на том, что вы знаете о вещах - но так как это то, что ваш проф хочет, это то, что он получает!), тогда мы можем сделать линейную интерполяцию - это именно то, что вы просили!

Хорошо, тогда - мясо ответа:

Наклон (м) функции при нашем известном значении:

м =#sqrt (х ^ 2 + 15) #

Следовательно, наклон в известной точке (x = 1):

м =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

м =#sqrt (1 + 15) #

м =#sqrt (16) #

м = 4

Помните, что формула для линии (необходимая для линейной интерполяции):

# У = х + Ь #

Это означает, что для точек, «близких» к нашему известному значению, мы можем аппроксимировать значения как находящиеся на линии с наклоном m и y-пересечением b. или же:

#G (х) = х + Ь #

#G (х) = 4x + B #

Итак, что же # Б #?

Мы решаем для этого, используя наше известное значение:

#G (1) = 3 #

# 4 (1) + Ь = 3 #

# 4 + Ь = 3 #

# Б = -1 #

Теперь мы знаем формулу для линии, которая приближает нашу кривую в известной точке:

г (х#~=#1) = 4x-1

Таким образом, мы не вставляем наши точки аппроксимации, чтобы получить приблизительное значение, или:

#G (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#G (0,9) ~ = 3.6-1 #

#G (0,9) ~ = 2.6 #

а также

#G (1.1) ~ = 4 (1,1) -1 #

#G (1.1) ~ = 4.4-1 #

#G (1.1) ~ = 3.4 #

Легко, правда?