Как найти линейное приближение к корню (4) (84)?

Ответ:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Объяснение:

Обратите внимание, что #3^4 = 81#, который близок к #84#.

Так #root (4) (84) # немного больше чем #3#.

Чтобы получить лучшее приближение, мы можем использовать линейное приближение, например метод Ньютона.

Определение:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Затем:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

и с учетом приблизительного нуля # х = # из #f (х) #, лучшее приближение:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Так что в нашем случае, положить # А = 3 #, лучшее приближение:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02 бар (7) #

Это почти точно #4# значимые цифры, но давайте процитируем приближение как #3.03#

Ответ:

#root (4) (84) ~~ 3,02778 #

Объяснение:

Обратите внимание, что линейное приближение вблизи точки # A # может быть дано:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Если дано: #f (x) = root (4) (x) #

тогда подходящий выбор для # A # было бы # А = 81 # потому что мы знаем #root (4) 81 = 3 # точно, и это близко к #84#.

Так:

#f (a) = f (81) = root (4) (81) = 3 #

Также;

#f (x) = x ^ (1/4) # так #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4 root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4 root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Поэтому мы можем приблизиться (около #81#):

#f (х) ~~ е (а) + е '(а) (х-а) #

# подразумевает root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Так:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Более точное значение #3.02740#

поэтому линейное приближение довольно близко.

Ответ:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Объяснение:

Мы можем сказать, что у нас есть функция #f (x) = root (4) (x) #

а также # root (4) (84) = f (84) #

Теперь давайте найдем производную нашей функции.

Мы используем правило власти, которое гласит, что если #f (х) = х ^ п #, затем #f '(х) = щ ^ (п-1) # где # П # постоянная

#f (х) = х ^ (1/4) #

=>#f '(х) = 1/4 * х ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(х) = (х ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(х) = 1 / х ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(х) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Теперь, чтобы приблизиться # root (4) (84) #мы пытаемся найти идеальную четвертую степень, ближайшую к 84

Посмотрим…

#1#

#16#

#81#

#256#

Мы видим, что #81# наш самый близкий

Теперь мы находим касательную линию нашей функции, когда # Х = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Это склон, который мы ищем.

Попробуем написать уравнение касательной в виде # У = х + Ь #

Ну что такое # У # равно когда # Х = 81 #?

Посмотрим…

#f (81) = корень (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Поэтому теперь у нас есть:

# 3 = M81 + Ь # Мы знаем, что склон, # М #, является #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + Ь # Теперь мы можем решить для # Б #.

=># 3 = 81/108 + Ь #

=># 3 = 3/4 + Ь #

=># 2 1/4 = b #

Следовательно, уравнение касательной # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Теперь мы используем 84 вместо #Икс#.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># У = 7/9 + 9/4 #

=># У = 28/36 + 81/36 #

=># У = 109/36 #

=># У = 3.02bar7 #

Следовательно, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #