Если возможно, найдите функцию f такую, что grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Ответ:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Объяснение:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 года + 6 лет ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Теперь возьми" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Тогда у нас один и тот же f, который удовлетворяет условиям." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Ответ:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Объяснение:

У нас плохая запись в этом вопросе, поскольку оператор del (или оператор градиента) является векторным дифференциальным оператором, Мы ищем функцию #f (х, у) # такой что:

# bb (град) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

куда #BB (град) # является оператором градиента:

# "grad" f = bb (grad) f = (частичный f) / (частичный x) bb (ul i) + (частичный f) / (частично x) bb (ul j) = << f_x, f_y> > #

От чего мы требуем, чтобы:

# f_x = (частичное f) / (частичное x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (частичная f) / (частичная y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Если мы интегрируем A в отношении #Икс#во время лечения # У # в качестве константы мы получаем:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Если мы интегрируем B в отношении # У #во время лечения #Икс# в качестве константы мы получаем:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

куда #u (у) # произвольная функция # У # один и #v (х) # произвольная функция #Икс# в одиночестве.

Очевидно, что мы требуем, чтобы эти функции были идентичными, поэтому имеем:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

И поэтому мы выбираем #v (х) = х ^ 4 # а также #u (у) = у ^ 6 #, что дает нам наше решение:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Мы можем легко подтвердить решение, вычислив частные производные:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (град) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED