Каковы примеры функций, которые нельзя интегрировать?

Смотря что ты имеешь в виду. Вы имеете в виду, что не можете найти формулу антидериватива? Или вы имеете в виду, что определенный интеграл не существует?

Некоторые функции, такие как #sin (х ^ 2) #Имейте антипроизводные, у которых нет простых формул, включающих конечное число функций, к которым вы привыкли из предкалькуляции (у них действительно есть антипроизводные, просто нет простых формул для них). Их антипроизводные не являются «элементарными».

Другие функции, такие как функция #f (х) # который равен 1, когда #Икс# рационально и 0, когда #Икс# иррациональны, не «интегрируемы по Риману» на любом отрезке # А, Ь #, Проблема заключается в том, что для заданного разбиения интервала вы всегда можете выбрать точки выборки, которые являются либо иррациональными, либо полностью рациональными, что приведет к суммам, которые не сходятся к тому же ответу, что и все подинтервалы. меньше.

Эта последняя функция, однако, «интегрируема по Лебегу» (произносится «Lah-bagh» с длинным звуком «a» во втором слоге). Я не буду вдаваться в подробности, но в двух словах, существует множество «теорий интеграции», в отношении которых данная функция может быть интегрируемой или нет.