Пожалуйста, решите это? какой вариант правильный?

Это легко увидеть как элементарные средства, которые невозможно выполнить, поэтому я просто решил это численно и получил:

Я оценил интеграл для #n = 1, 1,5, 2,.,,, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #, К тому времени он явно достиг #0.5#.

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

или же

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Предполагая, что один из ответов верен, наиболее естественным представляется четвертый 4)

НОТА

за #x в 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Ответ:

#1/2#

Объяснение:

Как уже было показано в предыдущем решении, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

существует и ограничен:

# 1/2 le I_n <1 #

Теперь интеграция по частям дает

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n раз (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Теперь, так как # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # в #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

поскольку #lim_ (от n до oo) I_n # существует, у нас есть

#lim_ (от n до oo) J_n = lim_ (от n до oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (от n до oo) 2 / (n + 2) раза lim_ (от n до oo) I_ (n + 2) = 0 #

следовательно

# lim_ (от n до oo) I_n = 1/2 #