Каковы абсолютные экстремумы f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) в [2,9]?

Ответ:

Абсолютный минимум # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# что происходит, когда # Х = 9 #.

Абсолютный максимум # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # что происходит, когда # Х = 2 #.

Объяснение:

Абсолютными экстремумами функции являются наибольшее и наименьшее значения у функции в данной области. Этот домен может быть передан нам (как в этой задаче) или домен самой функции. Даже когда нам дана область, мы должны рассмотреть область самой функции, в случае, если она исключает любые значения области, которую нам дают.

#f (х) # содержит показатель степени #1/3#, который не является целым числом. К счастью, домен #p (х) = root3 (х) # является # (- оо, оо) # так что этот факт не проблема.

Однако нам все же нужно учитывать тот факт, что знаменатель не может быть равен нулю. Знаменатель будет равен нулю, когда #x = + - (1/3) = + - (SQRT (3) / 3) #, Ни одно из этих значений не лежит в данной области #2,9#.

Итак, мы переходим к поиску абсолютных экстремумов на #2,9#, Абсолютные экстремумы возникают в конечных точках домена или локальных экстремумах, то есть в точках, где функция меняет направление. Локальные экстремумы возникают в критических точках, которые являются точками в области, где производная равна #0# или не существует. Таким образом, мы должны найти производную. Используя частное правило:

#f '(х) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(х) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(х) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(х) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Если мы фактор # -3x ^ (- 2/3) # из числителя имеем:

#f '(х) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (х ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Там нет значений #Икс# на #2,9# где #f '(х) # не существует. Там также нет значений на #2,9# где #f '(х) = 0 #, Таким образом, в данной области нет критических точек.

Используя «тест кандидатов», мы находим значения #f (х) # в конечных точках. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Быстрая проверка наших калькуляторов показывает, что:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (абсолютный максимум)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (абсолютный минимум)

Каковы абсолютные экстремумы f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 в [0,3]?

На [0,3] максимум равен 19 (при x = 3), а минимум равен -1 (при x = 1). Чтобы найти абсолютные экстремумы (непрерывной) функции на замкнутом интервале, мы знаем, что экстремумы должны иметь место либо в критических числах в интервале, либо в конечных точках интервала. f (x) = x ^ 3-3x + 1 имеет производную f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 никогда не бывает неопределенным и 3x ^ 2-3 = 0 при x = + - 1. Поскольку -1 не находится в интервале [0,3], мы отбрасываем его. Единственное критическое число, которое следует учитывать: 1. f (0) = 1, f (1) = -1 и f (3) = 19. Таким образом, максимум равен 19 (при x = 3), а минимум равен -1

Каковы абсолютные экстремумы f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) в [1,4]?

Там нет глобальных максимумов. Глобальный минимум равен -3 и имеет место при x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, где x f 1 f '(x) = 2x - 6 Абсолютные экстремумы возникают в конечной точке или в точке критическое число. Конечные точки: 1 и 4: x = 1 f (1): «неопределенный» lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Критическая точка (точки): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 При x = 3 f (3) = -3 Глобальных максимумов не существует. Там нет глобальных минимумов -3 и происходит при х = 3.

Каковы абсолютные экстремумы f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) в [oo, oo]?

X = 0 - максимум функции. f (x) = 1 / (1 + x²) Давайте искать f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²). Итак, мы видим, что существует уникальное решение, f ' (0) = 0 А также, что это решение является максимумом функции, потому что lim_ (от x до ± oo) f (x) = 0, а f (0) = 1 0 / вот наш ответ!