Вода сливается из конусообразного резервуара диаметром 10 футов и глубиной 10 футов с постоянной скоростью 3 фут3 / мин. Насколько быстро падает уровень воды, когда глубина воды составляет 6 футов?

Коэффициент радиуса,#р#от верхней поверхности воды до глубины воды,# Ш # является константой, зависящей от общих размеров конуса

# r / w = 5/10 #

#rarr r = w / 2 #

Объем конуса воды задается по формуле

#V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w #

или, с точки зрения просто # Ш # для данной ситуации

#V (w) = pi / (12) w ^ 3 #

# (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 #

#rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) #

Нам говорят, что

# (dV) / (dt) = -3 # (Cu.ft./min.)

# (DW) / (DT) = (DW) / (DV) * (DV) / (DT) #

# = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) #

# = (- 12) / (П ^ 2) #

когда # Ш = 6 #

глубина воды меняется со скоростью

# (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) #

Выражается в том, как быстро падает уровень воды, когда глубина воды #6# футов, вода падает со скоростью

# 1 / (3PI) # фут / мин.

В зоопарке есть два резервуара для воды, которые протекают. Один резервуар для воды содержит 12 галлонов воды и протекает с постоянной скоростью 3 г / час. Другой содержит 20 галлонов воды и протекает с постоянной скоростью 5 г / час. Когда оба танка будут иметь одинаковое количество?

4 часа. Первый бак имеет 12 г и теряет 3 г / ч. Второй бак имеет 20 г и теряет 5 г / ч. Если мы представим время как t, мы можем записать это как уравнение: 12-3t = 20-5t Решение для t 12-3t = 20-5t => 2t = 8 => t = 4: 4 часа. В это время оба танка опустошатся одновременно.

Вода вытекает из перевернутого конического резервуара со скоростью 10000 см3 / мин, в то же время вода закачивается в резервуар с постоянной скоростью. Если резервуар имеет высоту 6 м, а диаметр в верхней части равен 4 м, и если уровень воды поднимается со скоростью 20 см / мин, когда высота воды составляет 2 м, как вы находите скорость, с которой вода закачивается в бак?

Пусть V - объем воды в резервуаре, в см ^ 3; пусть h - глубина / высота воды в см; и пусть r будет радиусом поверхности воды (сверху), в см. Поскольку бак представляет собой перевернутый конус, то же самое происходит с массой воды. Поскольку высота резервуара составляет 6 м, а радиус на вершине 2 м, из аналогичных треугольников следует, что frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, так что h = 3r. Тогда объем перевернутого конуса воды равен V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Теперь дифференцируем обе стороны по времени t (в минутах), чтобы получить frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (в этом случае использует

Вода льется в цилиндрическую чашу высотой 10 футов и радиусом 3 фута со скоростью 5 футов ^ 3 / "мин". С какой скоростью поднимается уровень воды?

= (5) / (9 pi) фут / мин. Для заданной высоты h жидкости в цилиндре или радиусе r объем равен V = pi r ^ 2 h. Дифференциация по времени точка V = 2 pi r точка rh + pi r ^ 2 точка h, но точка r = 0, поэтому точка V = pi r ^ 2 точка h точка h = точка V / (pi r ^ 2) = (5) / (pi (3 ^ 2)) = (5) / (9 пи) фут / мин