Вода льется в цилиндрическую чашу высотой 10 футов и радиусом 3 фута со скоростью 5 футов ^ 3 / "мин". С какой скоростью поднимается уровень воды?

Ответ:

# = (5) / (9 пи) # фут / мин

Объяснение:

Для данной высоты, #час#жидкости в цилиндре или радиусе #р#, объем

#V = pi r ^ 2 ч #

Дифференцирование по времени

#dot V = 2 pi r точка r h + pi r ^ 2 точка h # но #dot r = 0 # так

#dot V = pi r ^ 2 dot h #

# точка h = точка V / (pi r ^ 2) #

# = (5) / (pi (3 ^ 2)) #

# = (5) / (9 пи) # фут / мин

Вода сливается из конусообразного резервуара диаметром 10 футов и глубиной 10 футов с постоянной скоростью 3 фут3 / мин. Насколько быстро падает уровень воды, когда глубина воды составляет 6 футов?

Отношение радиуса r верхней поверхности воды к глубине воды w является постоянной величиной, зависящей от общих размеров конуса r / w = 5/10 rarr r = w / 2. Объем конуса вода задается формулой V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w или, в терминах просто w для данной ситуации, V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Нам говорят, что (dV) / (dt) = -3 (куб.фут / мин.) (dw) / ( dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) Когда w = 6, глубина воды равна изменяется со скоростью (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) Выражается в терминах того, насколько б

Вода вытекает из перевернутого конического резервуара со скоростью 10000 см3 / мин, в то же время вода закачивается в резервуар с постоянной скоростью. Если резервуар имеет высоту 6 м, а диаметр в верхней части равен 4 м, и если уровень воды поднимается со скоростью 20 см / мин, когда высота воды составляет 2 м, как вы находите скорость, с которой вода закачивается в бак?

Пусть V - объем воды в резервуаре, в см ^ 3; пусть h - глубина / высота воды в см; и пусть r будет радиусом поверхности воды (сверху), в см. Поскольку бак представляет собой перевернутый конус, то же самое происходит с массой воды. Поскольку высота резервуара составляет 6 м, а радиус на вершине 2 м, из аналогичных треугольников следует, что frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, так что h = 3r. Тогда объем перевернутого конуса воды равен V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Теперь дифференцируем обе стороны по времени t (в минутах), чтобы получить frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (в этом случае использует

Уровень воды в полусферической чаше радиусом 12 дюймов составляет 4,6 дюйма. Какой угол вы можете наклонить чашу, прежде чем вода начнет проливаться?

Вы можете наклонить чашу на 38,1 ° до того, как вода начнет проливаться. На изображении выше вы можете увидеть миску с водой, как представлено в задаче, и гипотетическую наклонную чашу с водой, достигающей края чаши. Два центра полушарий накладываются друг на друга, и два диаметра образуют угол a. Тот же угол обнаружен в прямоугольном треугольнике, образованном: -сегментом от центра полушария к центру водной поверхности (12-4,6 = 7,4 дюйма); -сегментом от центра полушария к краю водной поверхности (12 дюймов); отрезок от центра поверхности воды до ее края В этом треугольнике sin (a) = 7,4 / 12, следовательно, a = sin