Как вы интегрируете int sec ^ -1x путем интеграции методом частей?

Ответ:

Ответ # = Х "дуга" secx-п (х + SQRT (х ^ 2-1)) + C #

Объяснение:

Нам нужно

# (С ^ -1x) '= ("дуга" secx)' = 1 / (xsqrt (х ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = п (SQRT (х ^ 2-1) + х) #

Интеграция по частям

# Intu'v = уф-intuv '#

Здесь мы имеем

# И '= 1 #, #=>#, # И = х #

# V = "дуга" secx #, #=>#, # У '= 1 / (xsqrt (х ^ 2-1)) #

Следовательно, #int "дуга" secxdx = х "дуга" secx-INT (ах) / (SQRT (х ^ 2-1)) #

Выполнить второй интеграл путем подстановки

Позволять # Х = обесп #, #=>#, # Дх = secutanudu #

#sqrt (х ^ 2-1) = SQRT (сек ^ 2u-1) = тану #

# Intdx / SQRT (х ^ 2-1) = INT (secutanudu) / (тана) = intsecudu #

# = INT (SECU (обесп + тана) ди) / (обесп + тана) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (секу + tanu) #

Позволять # V = обесп + тана #, #=>#, # DV = (сек ^ 2u + secutanu) # дю

Так, # Intdx / SQRT (х ^ 2-1) = INT (DV) / (v) = LNV #

# = Ln (обесп + тана) #

# = П (х + SQRT (х ^ 2-1)) #

В заключение, #int "дуга" secxdx = х "дуга" secx-п (х + SQRT (х ^ 2-1)) + C #

Ответ:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Объяснение:

В качестве альтернативы мы можем использовать малоизвестную формулу для выработки интегралов обратных функций. Формула гласит:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

где # Е ^ -1 (х) # обратная сторона #f (х) # а также #F (х) # является антипроизводным #f (х) #.

В нашем случае мы получаем:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Теперь все, что нам нужно, это антипроизводная # F #, который является знакомым секущим интегралом:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Включение этого в формулу дает наш окончательный ответ:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Мы должны быть осторожны с упрощением #tan (сек ^ -1 (х)) # в #sqrt (х ^ 2-1) # потому что личность действительна только если #Икс# положительно. Нам повезло, однако, потому что мы можем исправить это, поместив абсолютное значение на другой термин внутри логарифма. Это также устраняет необходимость в первом абсолютном значении, поскольку все внутри логарифма всегда будет положительным:

# Мксек ^ -1 (х) -ln (| х | + SQRT (х ^ 2-1)) + C #