Вода вытекает из перевернутого конического резервуара со скоростью 10000 см3 / мин, в то же время вода закачивается в резервуар с постоянной скоростью. Если резервуар имеет высоту 6 м, а диаметр в верхней части равен 4 м, и если уровень воды поднимается со скоростью 20 см / мин, когда высота воды составляет 2 м, как вы находите скорость, с которой вода закачивается в бак?

Позволять # V # будет объем воды в резервуаре, в # См ^ 3 #; позволять #час# глубина / высота воды в см; и разреши #р# быть радиусом поверхности воды (сверху), в см. Поскольку бак представляет собой перевернутый конус, то же самое происходит с массой воды. Поскольку высота резервуара составляет 6 м, а радиус на вершине 2 м, аналогичные треугольники означают, что # Гидроразрыва {ч} {г} = гидроразрыва {6} {2} = 3 # чтобы # Ч = 3r #.

Объем перевернутого конуса воды тогда # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Теперь дифференцируем обе стороны по времени # Т # (в минутах), чтобы получить # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (Цепное правило используется на этом шаге).

Если #V_ {я} # это объем воды, который был закачан, то # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (когда высота / глубина воды составляет 2 метра, радиус воды # Гидроразрыва {200} {3} # см).

Следовательно # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 ок. 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {мин} #.