Почему функция не дифференцируема?

Ответ:

#A) # Производная не существует

#B) # да

#C) # нет

Объяснение:

Вопрос А

Вы можете увидеть это несколькими разными способами. Либо мы можем дифференцировать функцию, чтобы найти:

#f '(х) = 6/5 (х-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (х-2) ^ (3/5)) #

который не определен в # Х = 2 #.

Или мы можем посмотреть на предел:

#lim_ (h-> 0) (е (2 + H) -f (2)) / ч = lim_ (h-> 0) (3 (2 + H-2) ^ (2/5) -3 (2 -2) ^ (3/5)) / ч = #

# = Lim_ (h-> 0) 0 / ч #

Этот предел не существует, что означает, что производная не существует в этой точке.

Вопрос Б

Да, теорема о среднем значении применима. Условие дифференцируемости в теореме о среднем значении требует, чтобы функция была дифференцируемой только на открытом интервале # (А, б) # (Т.е. нет # A # а также # Б # сами), поэтому на интервале #2,5#теорема применима потому, что функция дифференцируема на открытом интервале #(2,5)#.

Мы также видим, что в этом интервале действительно есть точка со средним наклоном:

Вопрос С

Нет. Как упоминалось ранее, теорема о среднем значении требует, чтобы функция была полностью дифференцируемой на открытом интервале #(1,4)#и мы ранее упоминали, что функция не дифференцируема в # Х = 2 #, который лежит в этом интервале. Это означает, что функция не дифференцируема на интервале, и поэтому теорема о среднем значении не применяется.

Мы также можем видеть, что нет точки в интервале, которая содержит средний наклон этой функции, из-за "крутого изгиба" на кривой.