Используя определение сходимости, как доказать, что последовательность {2 ^ -n} сходится от n = 1 к бесконечности?

$Используя определение сходимости, как доказать, что последовательность {2 ^ -n} сходится от n = 1 к бесконечности?$

Ответ:

Используйте свойства экспоненциальной функции для определения N, такие как # | 2 ^ (- п) -2 ^ (- т) | <epsilon # для каждого # m, n> N #

Объяснение:

Определение сходимости гласит, что # {A_n} # сходится, если:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Итак, учитывая #epsilon> 0 # принимать #N> log_2 (1 / epsilon) # а также # m, n> N # с #m <n #

Как #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # так # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- м) - 2 ^ (- н) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1–2 ^ (m-n)) #

Сейчас как # 2 ^ х # всегда позитивно, # (1- 2 ^ (м-н)) <1 #, так

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

И в качестве # 2 ^ (- х) # строго уменьшается и #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Но:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Так:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Что и требовалось доказать

Используя определение сходимости, как доказать, что последовательность {5+ (1 / n)} сходится от n = 1 к бесконечности?

Пусть: a_n = 5 + 1 / n, тогда для любого m, n в NN с n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) при n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / м -1 / n и при 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / м. Для любого действительного числа epsilon> 0 выберите целое число N> 1 / epsilon. Для любых целых чисел m, n> N имеем: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <эпсилон, который доказывает условие Коши для сходимости последовательности.

Используя определение сходимости, как доказать, что последовательность lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 сходится?

Для любого числа epsilon> 0 выберите M> 1 / sqrt (6epsilon), с M в NN. Тогда для n> = M имеем: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6 эпсилон) = 1 / эпсилон и так: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <эпсилон, который доказывает предел.

Предположим, что a_n является монотонным и сходится и b_n = (a_n) ^ 2. B_n обязательно сходится?

Да. Пусть l = lim_ (n -> + oo) a_n. a_n является монотонным, поэтому b_n также будет монотонным, и lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2. Это похоже на функции: если f и g имеют конечный предел в a, то продукт f.g будет иметь предел в a.