Используя определение сходимости, как доказать, что последовательность {5+ (1 / n)} сходится от n = 1 к бесконечности?

Позволять:

#a_n = 5 + 1 / n #

тогда для любого # m, n в NN # с #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

как #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / м -1 / n #

и в качестве # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Дано любое действительное число #epsilon> 0 #затем выберите целое число #N> 1 / эпсилон #.

Для любых целых # m, n> N # у нас есть:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

что доказывает условие Коши для сходимости последовательности.