Вопрос bfe81

Ответ:

# (П (х ^ 2 + 1)) / х ^ 2 = sum_ (п = 1) ^ оо (-1) ^ (п + 1) / щ ^ (2n-2) = 1-х ^ 2/2 + х ^ 4/3-х ^ 6/4 … #

Объяснение:

Мы знаем следующую серию Maclaurin для #ln (х + 1) #:

#ln (х + 1) = sum_ (п = 1) ^ оо (-1) ^ (п + 1) / пг ^ п = х-х ^ 2/2 + х ^ 3/3 … #

Мы можем найти серию для #ln (х ^ 2 + 1) # заменив все #Икс#с # Х ^ 2 #:

#ln (х ^ 2 + 1) = sum_ (п = 1) ^ оо (-1) ^ (п + 1) / п (х ^ 2) ^ п #

Теперь мы можем просто разделить на # Х ^ 2 # чтобы найти серию, которую мы ищем:

# (П (х ^ 2 + 1)) / х ^ 2 = 1 / х ^ 2sum_ (п = 1) ^ оо (-1) ^ (п + 1) / щ ^ (2n) = #

# = Sum_ (п = 1) ^ оо (-1) ^ (п + 1) / п * х ^ (2n) / х ^ 2 = sum_ (п = 1) ^ оо (-1) ^ (п + 1) / щ ^ (2n-2) = #

# = Х ^ (2-2) -x ^ (2 * 2-2) / 2 + х ^ (3 * 2-2) / 3-х ^ (4 * 2-2) / 4 = … #

# = 1-х ^ 2/2 + х ^ 4/3-х ^ 6/4 … #

это серия, которую мы искали.