Проверить f на вогнутость?

Ответ:

# Е # выпуклый в # RR #

Объяснение:

Решил это я думаю.

# Е # дифференцируется в 2 раза # RR # так # Е # а также # Е '# непрерывны в # RR #

У нас есть # (Р '(х)) ^ 3 + 3f' (х) = е ^ х + cosx + х ^ 3 + 2х + 7 #

Различая обе части мы получаем

# 3 * (Р '(х)) ^ 2f' '(х) + 3f' '(х) = е ^ х-SiN х + 3х ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (х) ((Р '(х)) ^ 2 + 1) = е ^ х-SiN х + 3х ^ 2 + 2 #

• #f '(х) ^ 2> = 0 # так #f '(х) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (х) = (е ^ х-SiN х + 3х ^ 2 + 2) / (3 ((е '(х)) ^ 2 + 1)> 0) #

Нам нужен знак числителя, поэтому мы рассмотрим новую функцию

#G (х) = е ^ х-SiN х + 3х ^ 2 + 2 # , #Икс##в## RR #

#G '(х) = е ^ х-cosx + 6х #

Мы замечаем, что #G '(0) = е ^ 0-cos0 6 * + 0 = 1-1 + 0 = 0 #

За # х = я # #=># #G '(π) = е ^ π-cosπ + 6π = е ^ π + 1 + 6π> 0 #

За # Х = -π # #G '(- π) = е ^ (- π) соз (-π) -6π = 1 / е ^ π + cosπ-6π = 1 / е ^ π-1-6π <0 #

Мы наконец получили эту таблицу, которая показывает монотонность #г#

предполагаемый # I_1 = (- оо, 0 # а также # I_2 = 0, + оо) #

#G (I_1) = г ((- оо, 0) = г (0), lim_ (xrarr-оо) г (х)) = 3, + оо) #

#G (I_2) = г (0, + оо)) = г (0), lim_ (xrarr + оо) г (х)) = 3, + оо) #

так как

• #lim_ (xrarr-оо) г (х) = lim_ (xrarr-оо) (е ^ х-SiN х + 3х ^ 2 + 2) #

# | SiNx | <= 1 # #<=># # -1 <= - SiN х <= 1 # #<=>#

# Е ^ х + 3x ^ 2 + 2-1 <= е ^ х + 3x ^ 2 + 2 SiN х <= е ^ х + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# Е ^ х + 3x ^ 2 + 1 <= г (х) <= е ^ х + 3x ^ 2 + 3 #

• Используя теорему сжатия / сэндвича, мы имеем

#lim_ (xrarr-оо) (е ^ х + 3x ^ 2 + 1) = + оо = lim_ (xrarr-оо) (е ^ х + 3x ^ 2 + 3х) #

Следовательно, #lim_ (xrarr-оо) г (х) = + оо #

• #lim_ (xrarr + оо) г (х) = lim_ (xrarr + оо) (е ^ х-SiN х + 3х ^ 2 + 2) #

С тем же процессом мы в конечном итоге

# Е ^ х + 3x ^ 2 + 1 <= г (х) <= е ^ х + 3x ^ 2 + 3 #

Тем не мение, #lim_ (xrarr + оо) (е ^ х + 3x ^ 2 + 1) = + оо = е ^ х + 3x ^ 2 + 3 #

Следовательно, #lim_ (xrarr + оо) г (х) = + оо #

Диапазон #г# будет:

# R_G = г (D_g) = г (I_1) УУГ (I_2) = 3, + оо) #

• # 0! InR_g = 3, + оо) # так #г# не имеет корней в # RR #

  #г# непрерывен в # RR # и не имеет решений. Следовательно, #г# сохраняет знак в # RR #

Это означает

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Таким образом, #G (π) = е ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = е ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

В следствии #G (х)> 0 #, #Икс##в## RR #

А также #f '' (х)> 0 #, #Икс##в## RR #

#-># # Е # выпуклый в # RR #

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

Дано #y = f (x) # радиус кривизны кривой определяется как

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # так дано

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # у нас есть

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # или же

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # или же

# 1 / (е '' (1+ (е ') ^ 2)) = 3 / (е ^ х + 3x ^ 3-SiN х + 2) # или же

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-SiN х + 2) #

сейчас анализирую #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # у нас есть

#min g (x) = 0 # за #x в RR # так #g (x) ge 0 # а затем кривизна в

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # не меняет знак, поэтому мы заключаем, что #f (х) # эпиграф выпуклый в # RR #