Вопрос 69 февраля

Ответ:

Нормальная строка: # У = (х-2-е ^ 4) / е ^ 2 #, Касательная линия: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Объяснение:

Для интуиции: представьте, что функция #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # описывает высоту некоторой местности, где #Икс# а также # У # координаты в плоскости и #ln (у) # предполагается, что натуральный логарифм. Тогда все # (Х, у) # такой, что #f (х, у) = а # (высота) равна некоторой константе # A # называются кривыми уровня. В нашем случае постоянная высота # A # ноль, так как #f (х, у) = 0 #.

Возможно, вы знакомы с топографическими картами, на которых закрытые линии обозначают линии одинаковой высоты.

Теперь градиент #grad f (x, y) = ((частичное f) / (частичное x), (частичное f) / (частичное x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # дает нам направление в точке # (Х, у) # в котором #f (х, у) # (высота) меняется быстрее всего. Это либо прямо вверх, либо прямо вниз по склону, если наша местность гладкая (дифференцируемая), и мы не на вершине, не внизу или на плато (точка экстремума). На самом деле это нормальное направление к кривой постоянной высоты, так что при # (Х, у) = (2, е ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Следовательно нормальная линия в этом направлении проходит через # (2, е ^ 2) # можно описать как

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, где #s в mathbbR # это реальный параметр. Вы можете устранить # S # выражать # У # как функция #Икс# если вы предпочитаете, чтобы найти

# У = (х-2-е ^ 4) / е ^ 2 #.

Производная по направлению в касательном направлении должна быть #0# (имеется ввиду, что высота не меняется), поэтому касательный вектор # (U, V) # должен удовлетворить

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = е ^ 2u #, где # CDOT # означает скалярное произведение. Так # (u, v) = (1, e ^ 2) # это один правильный выбор. Следовательно касательная линия проходит через # (2, е ^ 2) # можно описать как

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t в mathbbR #.

Решение для # У # дает это

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Вы должны наконец проверить это # (2, е ^ 2) # лежит на кривой #f (х, у) #на касательной и на нормальной линии.