Какое наименьшее целое число n такое, что n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Ответ:

# П = 8075 #

Объяснение:

Позволять #v_p (к) # быть кратность #п# как фактор # К #, То есть, #v_p (к) # наибольшее целое число такое, что # Р ^ (V_P (к)) | к #.

Замечания:

• Для любого #k в ZZ ^ + # а также #п# премьер, у нас есть #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Это можно легко доказать по индукции)

• Для любого целого числа #k> 1 #, у нас есть # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Это интуитивно, как кратные полномочия #2# встречаются чаще, чем кратные эквивалентные степени #5#и может быть строго доказано с использованием аналогичного аргумента)

• За #j, k в ZZ ^ + #, у нас есть #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # для любого простого делителя #п# из # J #.

Исходя из этого, наша цель - найти наименее целое число # П # такой, что # 10 ^ 2016 |! П #, Как # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #затем третьим наблюдением нам нужно только подтвердить, что # 2016 <= v_2 (n!) # а также # 2016 <= v_5 (n!) #, Второе наблюдение означает, что последнее подразумевает первое. Таким образом, достаточно найти наименьшее целое число # П # такой, что # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Найти # П # мы сделаем наблюдение, которое позволит нам рассчитать # V_5 (5 ^ к!) #.

Между #1# а также # 5 ^ к #, имеются # 5 ^ к / 5 # кратные #5#каждый из которых вносит как минимум #1# к сумме #sum_ (я = 1) ^ (5 ^ к) v_5 (я) #, Это также # 5 ^ к / 25 # кратные #25#каждый из которых вносит дополнительный #1# на сумму после первоначального подсчета. Мы можем действовать таким образом, пока не достигнем одного кратного # 5 ^ к # (который # 5 ^ к # сам), который способствовал # К # раз к сумме. Рассчитав сумму таким способом, мы имеем

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ К5 ^ (ки) = sum_ (я = 0) ^ (к-1) 5 ^ я = (5 ^ к-1) / (5-1) #

Таким образом, мы находим, что # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Наконец, мы найдем # П # такой, что # v_5 (n!) = 2016 #, Если мы рассчитаем # V_5 (5 ^ к!) # для нескольких значений # К #, мы нашли

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Как #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # П # нужны два "блока" #5^5#, два из #5^4#четыре из #5^3#и три из #5^2#, Таким образом, мы получаем

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Компьютер может быстро проверить, что #sum_ (я = 1) ^ (8075) v_5 (я) = 2016 #, таким образом #10^2016 | 8075!#, и в качестве #5|8075!# с множественностью #2016# а также #5|8075#Ясно, что никакое меньшее значение не будет достаточным.