Как мне найти интеграл int (x * e ^ -x) dx?

Как мне найти интеграл int (x * e ^ -x) dx?
Anonim

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Процесс:

#int x e ^ (- x) dx = # ?

Этот интеграл потребует интеграции по частям. Имейте в виду формулу:

#int u dv = uv - int v du #

Мы позволим #u = x #, а также #dv = e ^ (- x) dx #.

Следовательно, #du = dx #, обнаружение # V # потребует # # UЗАМЕНА; Я буду использовать письмо # Д # вместо # # U так как мы уже используем # # U в формуле интегрирования по частям.

#v = int e ^ (- x) dx #

позволять #q = -x #.

Таким образом, #dq = -dx #

Мы перепишем интеграл, добавив два негатива для размещения # Дк #:

#v = -int -e ^ (- x) dx #

Написано с точки зрения # Д #:

#v = -int e ^ (q) dq #

Следовательно,

#v = -e ^ (q) #

Подставляя обратно для # Д # дает нам:

#v = -e ^ (- x) #

Теперь, оглядываясь назад на формулу IBP, мы имеем все, что нам нужно, чтобы начать заменять:

#int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (- x) dx #

Упростим, отменив два негатива:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #

Этот второй интеграл должен легко решаться - он равен # V #, который мы уже нашли. Просто подставьте, но не забудьте добавить константу интеграции:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #