Каковы абсолютные экстремумы f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x в [0, pi / 4]?

Ответ:

абсолютный максимум: # (пи / 4, пи / 4) #

абсолютный минимум: #(0, 0)#

Дано: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x в 0, pi / 4 #

Найдите первую производную, используя правило произведения дважды.

Правило продукта: # (uv) '= uv' + v u '#

Позволять #u = 2x; "" u '= 2 #

Позволять #v = грех ^ 2x = (грех x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Для второй половины уравнения:

Позволять #u = x; "" u '= 1 #

Позволять #v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Упростить:

#f '(x) = отмена (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x cancel (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

Пифагорейская идентичность # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Это означает, что нет критических значений, когда #f '(x) = 0 #

Абсолютный максимум и минимум будут найдены в конечных точках функционального интервала.

Проверка конечных точек функции:

#f (0) = 0; «Абсолютный минимум:» (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; «Абсолютный максимум:» (пи / 4, пи / 4) #