Каковы все значения для k, для которых int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

а также

# К ^ 6-2 ^ 6 = (к ^ 3 + 2 ^ 3) (к ^ 3-2 ^ 3) # но

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # а также

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # так

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

или же

# {(К + 2 = 0), (к ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (к-2 = 0), (к ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

тогда наконец

реальные ценности #k = {-2,2} #

комплексные ценности #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Ответ:

# k = + - 2 #

Объяснение:

Мы требуем:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Интегрируя мы получаем:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 цвет (белый) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (к ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

При условии, что #k в RR # (есть на самом деле #6# корнеплоды, #4# из которых сложны)

Теперь, в зависимости от контекста проблемы, можно утверждать, что Йк <2 # (т.е. # К = -2 #) недействителен как #k> = 2 # сделать внутреннее «правильным», исключая, таким образом, это решение, но без какого-либо контекста разумно включить оба решения.

Также обратите внимание, что #k = + - 2 # может показаться, что это решения без фактической интеграции.

Во-первых, свойство определенных интегралов заключается в том, что:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

так что мы можем сразу установить # К = 2 # это решение.

Во-вторых, # Х ^ 5 # является странный функция и нечетные функции удовлетворяют:

# f (-x) = f (x) #

и имеют вращательную симметрию относительно начала координат. как таковой, если #f (х) # странно тогда:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

так что мы можем сразу установить # К = -2 # это решение.

Однако интегрирование и последующие вычисления доказывают, что это единственные решения!