Исчисление

Экстремумы функции f (x): Макс. 2 при x = 0 Мин. 0 при x = 2, -2 Чтобы найти экстремумы любой функции, выполните следующие действия: 1) Дифференцируйте функцию 2) Установите производную равно 0 3) Решите для неизвестной переменной 4) Подставьте решения в f (x) (НЕ производную) В вашем примере f (x) = sqrt (4-x ^ 2): f (x) = (4 -x ^ 2) ^ (1/2) 1) Дифференцировать функцию: по правилу цепи **: f '(x) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) * (- 2x ) Упрощение: f '(x) = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) Установите производную равную 0: 0 = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1 / 2) Теперь, так как это продукт, вы можете установить каждую часть равной 0 и реш Подробнее »

Функция не имеет локальных экстремумов. f '(x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 никогда не бывает неопределенным и равно 0 только при x = -1. Таким образом, единственным критическим числом является -1. Поскольку f '(x) положительна с обеих сторон от -1, f не имеет ни минимума, ни максимума при -1. Подробнее »

(0, -1) Локальные экстремумы возникают, когда f '(x) = 0. Итак, найдите f '(x) и установите его равным 0. f' (x) = 2x 2x = 0 x = 0 Существует локальный экстремум в (0, -1). Проверьте график: график {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} Подробнее »

Эта функция не имеет локальных экстремумов. В локальном экстремуме мы должны иметь f prime (x) = 0 Теперь f prime (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x + 8 Рассмотрим, может ли это исчезнуть. Чтобы это произошло, значение g (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x должно быть равно -8. Так как g простое (x) = (x ^ 2 + 10x + 11) e ^ x, экстремумы g (x) находятся в точках, где x ^ 2 + 10x + 11 = 0, то есть в x = -5 pm sqrt {14}. Поскольку от g (x) до infty и 0 как x до pm infty, легко видеть, что минимальное значение будет при x = -5 + sqrt {14}. У нас есть g (-5 + sqrt {14}) ~~ -1.56, так что минимальное значение f prime (x) ~~ 6.44 - так, чтоб Подробнее »

Параболы имеют ровно одну экстремум, вершину. Это (-4 1/2, -19 1/4). Поскольку {d ^ 2 f (x)} / dx = 2, функция всюду вогнута, и эта точка должна быть минимальной. У вас есть два корня, чтобы найти вершину параболы: во-первых, используйте исчисление, чтобы найти, где производная равна нулю; во-вторых, избегайте исчисления любой ценой и просто завершите квадрат. Мы собираемся использовать исчисление для практики. f (x) = x ^ 2 + 9x + 1, нам нужно взять производную этого. {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) В силу линейности производной имеем {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1). Используя сте Подробнее »

Локальные экстремумы: x ~~ -1.15 x = 0 x ~~ 1.05 Найдите производную f '(x) Установите f' (x) = 0 Это ваши критические значения и потенциальные локальные экстремумы. Нарисуйте числовую линию с этими значениями. Подключите значения в каждом интервале; если f '(x)> 0, функция увеличивается. если f '(x) <0, функция уменьшается. Когда функция меняется с отрицательной на положительную и непрерывна в этой точке, существует локальный минимум; и наоборот. f '(x) = [(3x ^ 2 + 4x) (3-5x) - (- 5) (x ^ 3 + 2x ^ 2)] / (3-5x) ^ 2 f' (x) = [9x ^ 2-15x ^ 3 + 12x-20x ^ 2 + 5x ^ 3 + 10x ^ 2] / (3-5x) ^ 2 f ' Подробнее »

X = 0, -4/3 Найти производную от f (x) = x ^ 2 (x + 2). Вам придется использовать правило продукта. f '(x) = x ^ 2 + (x + 2) 2x = x ^ 2 + 2x ^ 2 + 4x = 3x ^ 2 + 4x f' (x) = x (3x + 4) Set f '(x) равным нулю, чтобы найти критические точки. x = 0 3x + 4 = 0 rarr x = -4 / 3 f (x) имеет локальные экстремумы при x = 0, -4/3. ИЛИ f (x) имеет локальные экстремумы в точках (0, 0) и (-4/3, 32/27). Подробнее »

Функция имеет 2 экстремума: f_ {max} (- 2) = 18 и f_ {min} (2) = - 14 У нас есть функция: f (x) = x ^ 3-12x + 2 Чтобы найти экстремумы, мы вычисляем производную f '(x) = 3x ^ 2-12 Первое условие для нахождения крайних точек состоит в том, что такие точки существуют только там, где f' (x) = 0 3x ^ 2-12 = 0 3 (x ^ 2-4) = 0) 3 (x-2) (x + 2) = 0 x = 2 vv x = -2 Теперь мы должны проверить, меняет ли производная знак в вычисленных точках: график {x ^ 2-4 [-10, 10, - 4.96, 13.06]} Из графика видно, что f (x) имеет максимум для x = -2 и минимум для x = 2. Завершающим этапом является вычисление значений f (-2) и f (2) Подробнее »

X ^ 3-3x + 6 имеет локальные экстремумы при x = -1 и x = 1. Локальные экстремумы функции возникают в точках, где первая производная функции равна 0, а знак первой производной изменяется. То есть для x, где f '(x) = 0 и f' (x-varepsilon) <= 0 и f '(x + varepsilon)> = 0 (локальный минимум) или f' (x-varepsilon)> = = 0 и f '(x + варепсилон) <= 0 (локальный максимум). Чтобы найти локальные экстремумы, нам нужно найти точки, где f' (x) = 0. f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1), поэтому f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + -1 Глядя на знак f ', Подробнее »

Максимум = 19 при x = -1 Минимум = -89 atx = 5> f (x) = x ^ 3-6x ^ 2-15x + 11 Чтобы найти локальные экстремумы, сначала найдите критическую точку f '(x) = 3x ^ 2-12x-15 Set f '(x) = 0 3x ^ 2-12x-15 = 0 3 (x ^ 2-4x-5) = 0 3 (x-5) (x + 1) = 0 x = 5 или х = -1 являются критическими точками. Нам нужно выполнить второй производный тест f ^ ('') (x) = 6x-12 f ^ ('') (5) = 18> 0, поэтому f достигает своего минимума при x = 5, а минимальное значение равно f (5) = - 89 f ^ ('') (- 1) = -18 <0, поэтому f достигает своего максимума при x = -1, а максимальное значение равно f (-1) = 19 Подробнее »

Данная функция имеет точку минимумов, но, конечно, не имеет точки максимумов. Данная функция: f (x) = (x ^ 3-4x ^ 2-3) / (8x-4) После дифференцирования f '(x) = (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ^ 2) Для критических точек мы должны установить, что f '(x) = 0. влечет (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ) ^ 2) = 0 означает x ~~ -0.440489 Это точка экстремумов. Чтобы проверить, достигает ли функция максимума или минимума при данном конкретном значении, мы можем выполнить второй тест производной. f '' (x) = (4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16) / (2 * (2x-1) ^ 3) f '' (- 0,44)> 0, поскольку вторая производ Подробнее »

Единственная критическая точка действительного числа этой функции - x прибл. -9.01844. Локальный минимум происходит в этой точке. Согласно правилу отношения производная этой функции имеет вид f '(x) = ((x + 6) * 3x ^ 2- (x ^ 3-3) * 1) / ((x + 6) ^ 2) = ( 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3) / ((x + 6) ^ 2) Эта функция равна нулю тогда и только тогда, когда 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0. Корни этой кубики включают в себя отрицательное иррациональное (действительное) число и два комплексных числа. Реальный корень х ок -9,01844. Если вы введете число чуть меньше этого в f ', вы получите отрицательный результат, а если вы вставите число ч Подробнее »

(0.14414, 0.05271) - локальный максимум (1.45035, 0.00119) и (-1.59449, -1947.21451) - локальные минимумы. , f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. е ^ (7х-х ^ 3) = - оо,:. x = oo Это не квалифицируется как локальный экстремум. 3x ^ 3-7x + 1 = 0 Чтобы найти корни этой кубической функции, мы используем метод Ньютона-Рафсона: x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) Это итерационный процесс, который приблизит нас к корню функции. Я не включаю здесь длинный процесс, но, достигнув первого корня, мы Подробнее »

F_min = f (1) = 0 f_max = f (e ^ (- 2)) прибл. 0,541 f (x) = (xlnx) ^ 2 / x = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x = x ( lnx) ^ 2 Применение правила произведения f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 = (lnx) ^ 2 + 2lnx Для локальных максимумов или минимумов: f' (x) = 0 Пусть z = lnx:. z ^ 2 + 2z = 0 z (z + 2) = 0 -> z = 0 или z = -2 Следовательно, для локального максимума или минимума: lnx = 0 или lnx = -2: .x = 1 или x = e ^ -2 приблизительно 0,135 Теперь рассмотрим график x (lnx) ^ 2 ниже. graph {x (lnx) ^ 2 [-2.566, 5.23, -1.028, 2.87]} Мы можем наблюдать, что упрощенная функция f (x) имеет локальный минимум при x = 1 Подробнее »

Графическим методом локальный максимум составляет 1.365, почти, в точке поворота (-0.555, 1.364), почти. Кривая имеет асимптоту y = 0 larr, ось x. Приближения к точке поворота (-0,555, 1,304) были получены путем перемещения линий, параллельных осям, чтобы встретиться в зените. Как показано на графике, можно доказать, что от x до -oo, от y до 0 и от x до oo, от y до -oo #. graph {(1 / sqrt (x ^ 2 + e ^ x) -xe ^ x-y) (y-1.364) (x + .555 + .001y) = 0 [-10, 10, -5, 5]} Подробнее »

Мы имеем максимумы при x = 0, так как f (x) = - 2x ^ 2 + 9, f '(x) = - 4x, так как f' (x) = 0 для x = 0, поэтому мы имеем локальные экстремумы в x = -9 / 4 Кроме того, f '' (x) = - 4 и, следовательно, при x = 0 мы имеем максимумы при графике x = 0 {-2x ^ 2 + 9 [-5, 5, -10, 10] } Подробнее »

Здесь нет локальных экстремумов. Локальные экстремумы могут возникнуть, когда f '= 0 и когда f' переключается с положительного на отрицательный или наоборот. f (x) = x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x f '(x) = - x ^ -2 - (- 3x ^ -4) + 5x ^ 4-1 Умножение на x ^ 4 / x ^ 4: f '(x) = (- x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4) / x ^ 4 = (5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 Локальные экстремумы могут возникнуть при f '= 0. Поскольку мы не можем определить, когда это происходит алгебраически, давайте наметим граф f ': f' (x): graph {(5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 [-5, 5, -10.93, 55]} f 'не имеет нулей. Таким образом, f не им Подробнее »

Локальные экстремумы имеют значение -2sqrt (6) при x = -sqrt (3/2) и 2sqrt (6) при x = sqrt (3/2). Локальные экстремумы расположены в точках, где первая производная функции имеет значение 0. Таким образом, чтобы найти их, мы сначала найдем производную f '(x), а затем решим для f' (x) = 0. f '(x) = d / dx (2x + 3 / x) = (d / dx2x ) + d / dx (3 / x) = 2 - 3 / x ^ 2 Далее, решение для f '(x) = 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => x = + -sqrt (3/2) Таким образом, оценивая исходную функцию в этих точках, мы получаем -2sqrt (6) в качестве локального максимума при x = -sqrt (3/2) и 2sqrt (6) в качестве локаль Подробнее »

Минимумы f: 38,827075 при x = 4,1463151 и еще один при отрицательном x. Я бы посетил здесь в ближайшее время, с другим минимумом .. По сути, f (x) = (биквадратичный по x) / (x-1) ^ 2. Используя метод частичных дробей, f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + 3 / (x-1) + 42 / (x-1) ^ 2 Эта форма выявляет асимптотическую параболу y = x ^ 2 + 3x +4 и вертикальная асимптота x = 1. От x до + -oo, от f до oo. Первый график показывает параболическую асимптоту, которая лежит низко. Второй показывает график слева от вертикальной асимптоты, x = 1, а третий - для правой стороны. Они подходящим образом масштабируются для выявления локальных минимумов Подробнее »

F_ (мин) = F (1/4 + 2 ^ (- 5/3)) = (2 ^ (2/3) + 3 + 2 ^ (5/3)) / 4. Заметим, что f (x) = 4x ^ 2-2x + x / (x-1/4); х в ОР - {1/4}. = 4x ^ 2-2x + 1 / 4-1 / 4 + {(х-1/4) +1/4} / (х-1/4); xne1 / 4 = (2x-1/2) ^ 2-1 / 4 + {(x-1/4) / (x-1/4) + (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4 = 4 (x-1/4) ^ 2-1 / 4 + {1+ (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4:. F (X) = 4 (х-1/4) ^ 2 + 3/4 + (1/4) / (х-1/4); xne1 / 4. Теперь для локальных экстремумов f '(x) = 0 и f' '(x)> или <0 "в соответствии с" f_ (min) или f_ (max), "соответственно". f '(x) = 0 rArr 4 {2 (x-1/4)} + 0 + 1/4 {(- 1) / (x-1/4) ^ 2} = 0 ... (ast) rArr 8 (х-1 Подробнее »

Я предполагаю, что либо есть ошибка, либо это вопрос с подвохом. 1 ^ x = 1 для всех x, поэтому ln1 ^ 1 = ln1 = 0 Следовательно, f (x) = e ^ xln1 ^ x = e ^ x * 0 = 0 для всех x. f постоянная. Минимум и максимум f оба равны 0. Подробнее »

Посмотрим. Пусть функция будет у. : .Y = F (X) = е ^ (х ^ 2) -x ^ 2e ^ х. Теперь найдите dy / dx и (d ^ 2y) / dx ^ 2. Теперь выполните некоторые шаги, приведенные в следующем URL-адресе http://socratic.org/questions/what-are-the-extrema-of-f-x-3x-2-30x-74-on-oo-oo. Надеюсь, поможет:) Подробнее »

При x = pi / 2 f '' (x) = - 1 мы имеем локальные максимумы, а при x = 3pi / 2, f '' (x) = 1 мы имеем локальные минимумы. Максимумы - это высшая точка, до которой функция поднимается, а затем снова падает. Таким образом, наклон касательной или значение производной в этой точке будет равно нулю. Кроме того, поскольку касательные слева от максимумов будут наклоняться вверх, затем сглаживаться и затем наклоняться вниз, наклон касательной будет непрерывно уменьшаться, то есть значение второй производной будет отрицательным. С другой стороны, минимумы - это нижняя точка, до которой функция падает, а затем снова п Подробнее »

Рядом + -1,7. Смотрите график, который дает это приближение. Я постараюсь дать более точные значения, позже. На первом графике показаны асимптоты x = 0, + -pi / 2 + -3 / 2pi, + -5 / 2pi, .. Обратите внимание, что tan x / x ^ 2 = (1 / x) (tanx / x) имеет limit + -oo, от x до 0 _ + - Второй (не масштабируемый ad-hoc) график аппроксимирует локальные экстремумы как + -1,7. Я бы улучшил это позже. Здесь нет глобальных экстремумов. graph {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-20, 20, -10, 10]} graph {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-2, 2, -5, 5 ]} Подробнее »

X = 1.763 Возьмите производную lnx / e ^ x, используя частное правило: f '(x) = ((1 / x) e ^ x-ln (x) (e ^ x)) / e ^ (2x). ae ^ x сверху и переместите его вниз к знаменателю: f '(x) = ((1 / x) -ln (x)) / e ^ x Найти, когда f' (x) = 0 Это происходит только тогда, когда числитель равен 0: 0 = (1 / x-ln (x)). Для этого вам понадобится графический калькулятор. x = 1.763 Если число меньше 1.763, вы получите положительный результат, а число выше 1.763 - отрицательный. Так что это локальный максимум. Подробнее »

Минимумы (0, 0) Максимумы (-4/3, 1 5/27) Даны- y = x ^ 2 (x + 2) y = x ^ 3 + 2x ^ 2 dy / dx = 3x ^ 2 + 4x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6x + 4 dy / dx = 0 => 3x ^ 2 + 4x = 0 x (3x + 4) = 0 x = 0 3x + 4 = 0 x = -4 / 3 At х = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (0) + 4 = 4> 0 при x = 0; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Следовательно, функция имеет минимумы при x = 0 при x = 0; y = (0) ^ 2 (0 + 2) = 0 минимумов ( 0, 0) при х = -4 / 3; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (-4/3) + 4 = -4 <0 при x = -4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) <0 Следовательно, функция имеет максимумы при x = -4 / 3 При x = -4 / 3; y = (- 4/3) ^ 2 (-4 / 3 + 2) = 1 Подробнее »

Локальный максимум 25 + (26 кв. (13/3)) / 3 Локальный максимум 25 - (26 кв. (13/3)) / 3. Чтобы найти локальные экстремумы, мы можем использовать тест первой производной. Мы знаем, что при локальных экстремумах, по крайней мере, первая производная функции будет равна нулю. Итак, давайте возьмем первую производную и установим ее равной 0 и решим для х. f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x +13 f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 Это равенство легко решается с помощью квадратичной формула. В нашем случае a = -3, b = 6 и c = 10 состояния квадратичной формулы: x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) Если мы вернем наши Подробнее »

MAX (0; 0) и MIN (-10 / 3,20 / 29) Мы вычисляем f '(x) = - x (3x + 10) / (x ^ 2-3x-5) ^ 2 f' '(x ) = 2 (3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25) / (x ^ 2-3x-5) ^ 3, поэтому f '(x) = 0, если x = 0 или x = -10 / 3, у нас есть еще f' '(0) = - 2/5 <0 и f' '(- 10/3) = 162/4205> 0 Подробнее »

X = -5 f (x) = [(x-2) (x-4) ^ 3] / (x ^ 2-2) x ^ 2-2 = (x + 2) (x-2) Итак, функция воля стала: f (x) = [(x-4) ^ 3] / (x + 2) Теперь f '(x) = d / dx [(x-4) ^ 3] / (x + 2) f' (x) = [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 Для локальной точки экстремума f '(x) = 0, поэтому [3 ( х + 2) (х-4) ^ 2- (х-4) ^ 3] / (х + 2) ^ 2 = 0 [3 (х + 2) (х-4) ^ 2- (х-4) ^ 3] = 0 3 (x + 2) (x-4) ^ 2 = (x-4) ^ 3 3x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 Подробнее »

Относительный максимум: (-1, 6) относительный минимум: (3, -26) Дано: f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1 Найдите критические числа, найдя первую производную и установив ее равной ноль: f '(x) = 3x ^ 2 -6x - 9 = 0 Коэффициент: (3x + 3) (x -3) = 0 Критические числа: x = -1, "" x = 3 Используйте второй производный тест для узнайте, являются ли эти критические числа относительными максимумами или относительными минимумами: f '' (x) = 6x - 6 f '' (- 1) = -12 <0 => "относительный максимум при" x = -1 f '' ( 3) = 12> 0 => "относительный мин при" x = 3 f (-1) = (-1 Подробнее »

1 + -2sqrt (3) / 3 Полином является непрерывным и имеет непрерывную производную, поэтому экстремумы можно найти, приравнивая производную функцию к нулю и решая полученное уравнение. Производная функция имеет вид 3x ^ 2-6x-1 и имеет корни 1 + -sqrt (3) / 3. Подробнее »

Точки поворота (локальные экстремумы) возникают, когда производная функции равна нулю, т.е. когда f '(x) = 0. то есть, когда 3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt (7/3). поскольку вторая производная f '' (x) = 6x и f '' (sqrt (7/3))> 0 и f '' (- sqrt (7/3)) <0, это означает, что sqrt (7 / 3) является относительным минимумом, а -sqrt (7/3) является относительным максимумом. Соответствующие значения y можно найти, подставив обратно в исходное уравнение. График функции выполняет проверки приведенных выше расчетов. график {x ^ 3-7x [-16.01, 16.02, -8.01, 8]} Подробнее »

(0,15), (4, -17) Локальный экстремум или относительный минимум или максимум возникнут, когда производная функции равна 0. Поэтому, если мы найдем f '(x), мы можем установить его равным к 0. f '(x) = 3x ^ 2-12x Установите его равным 0. 3x ^ 2-12x = 0 x (3x-12) = 0 Установите каждую часть равной 0. {(x = 0), ( 3x-12 = 0rarrx = 4):} Экстремумы возникают в точках (0,15) и (4, -17). Посмотрите на них на графике: graph {x ^ 3-6x ^ 2 + 15 [-42.66, 49.75, -21.7, 24.54]} Экстремумы или изменения направления имеют значения (0,15) и (4, - 17). Подробнее »

F (x) _max = (1,37, 8,71) f (x) _min = (4,63, -8,71) f (x) = x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f '(x) = 3x ^ 2-18x +19 f '' (x) = 6x-18 Для локальных максимумов или минимумов: f '(x) = 0 Таким образом: 3x ^ 2-18x + 19 = 0 Применение квадратной формулы: x = (18 + -sqrt (18 ^ 2-4xx3xx19)) / 6 x = (18 + -sqrt96) / 6 x = 3 + -2 / 3sqrt6 x ~ = 1.367 или 4.633 Чтобы проверить локальный максимум или минимум: f '' (1.367) <0 -> Локальный максимум f '' (4.633)> 0 -> Локальный минимум f (1.367) ~ = 8.71 Локальный максимум f (4.633) ~ = -8.71 Локальный минимум Эти локальные экстремумы можно увидеть на г Подробнее »

F (x) имеет локальный максимум на уровне прибл. (0.1032, 15.0510) f (x) имеет локальный минимум на уровне прибл. (3.2301, -0.2362) f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) Применить правило продукта. f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) Применить правило мощности. f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x +1 Для локальных экстремумов f '(x) = 0 Следовательно, 3x ^ 2-10x + 1 = 0 Применить квадратичную формулу. x = (+ 10 + -кврт ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) = (10 + -кврт (88)) / 6 приблизительно 3,2301 или 0,1032 f '' (x ) = 6x-10 Для локальног Подробнее »

X_1 = -1 - максимум x_2 = 1 - минимум. Сначала найдите критические точки, приравняв первую производную к нулю: f '(x) = 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 = 0 При x! = 0 мы можем умножить на x ^ 2 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac (1 + -sqrt (1 + 24)) 6, так что x ^ 2 = 1, так как другой корень отрицательный, а x = + - 1 Затем мы смотрим на знак второй производной: f '' (x) = 6x + 6 / x ^ 3 f '' (- 1) = -12 <0 f '' (1) = 12> 0, так что: x_1 = -1 - максимум x_2 = 1 - минимальный граф {x ^ 3-x + 3 / x [-20, 20, -10, 10] } Подробнее »

Локальный максимум ~~ -0.794 (при x ~~ -0.563) и локальные минимумы составляют ~~ 18.185 (при x ~~ -3.107) и ~~ -2.081 (при x ~~ 0.887) f '(x) = (2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 2 Критические числа являются решениями для 2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2 -8x-12 = 0. У меня нет точных решений, но с помощью численных методов реальные решения найдутся примерно: -3,107, - 0,563 и 0,887 f '' (x) = (2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 3 Применить второй производный критерий: f '' (- 3.107)> 0, поэтому f (-3.107) ~~ 1 Подробнее »

(1, e ^ -1) Нам нужно использовать правило произведения: d / dx (uv) = u (dv) / dx + v (du) / dx:. f '(x) = xd / dx (e ^ -x) + e ^ -x d / dx (x):. f '(x) = x (-e ^ -x) + e ^ -x (1):. f '(x) = e ^ -x-xe ^ -x при минимуме / максимуме f' (x) = 0 f '(x) = 0 => e ^ -x (1-x) = 0 Теперь e ^ x> 0 AA x в RR:. f '(x) = 0 => (1-x) = 0 => x = 1 x = 1 => f (1) = 1e ^ -1 = e ^ -1 Следовательно, существует одна точка поворота в (1 , е ^ -1) график {xe ^ -x [-10, 10, -5, 5]} Подробнее »

Эта функция не имеет локальных экстремумов. f (x) = xlnx-xe ^ x подразумевает g (x) эквивалент f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Чтобы x был локальным экстремумом, g (x) должно быть нуль. Теперь мы покажем, что это не происходит ни для какого реального значения x. Обратите внимание, что g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Таким образом, g ^ '(x) исчезнет, если e ^ x = 1 / (x (x + 2)) Это трансцендентное уравнение, которое может быть решено численно. Поскольку g ^ '(0) = + oo и g ^' (1) = 1-3e <0, корень лежит между 0 и 1. И так как g ^ {'' Подробнее »

X_1 = 2.430500874043 и y_1 = -1.4602879768904 Максимальная точка x_2 = -1.0971675407097 и y_2 = -0.002674986072485 Минимальная точка Определить производную от f (x) f '(x) = ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1 -x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) / [(x-2) (x-4) ^ 3] ^ 2 Затем возьмите числитель приравнять к нулю ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) = 0 упростить (x-2) (x-4) ^ 3-3x (x-2) (x-4) ^ 2-x (x-4) ^ 3 = 0 Факторинг общего термина (x-4) ^ 2 * [ (x-2) (x-4) -3x (x-2) -x (x-4)] = 0 (x-4) ^ 2 * (x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x- x ^ 2 + 4x) = 0 (x-4) ^ 2 (-3x ^ 2 + 4x + 8) = 0 Значения x: x = 4, асимптота x_1 Подробнее »

Полиномы везде дифференцируемы, поэтому ищите критические значения, просто находя решения для f '= 0 f' = 12x ^ 2 + 6x-6 = 0 Используя алгебру для решения этого простого квадратного уравнения: x = -1 и x = 1 / 2 Определите, являются ли они минимальными или максимальными, подключив ко второй производной: f '' = 24x + 6 f '' (- 1) <0, так что -1 является максимальным f '' (1/2)> 0, так что 1/2 - это минимальная надежда, которая помогла Подробнее »

F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Эта функция имеет вертикальную асимптоту при x = 2, приближается к 1 сверху, когда x переходит в + oo (горизонтальная асимптота), и приближается к 1 снизу, когда x идет о-оо Все производные также не определены при x = 2. Существует один локальный минимум при x = 0, y = 0 (все эти проблемы для источника!) Обратите внимание, что вы можете проверить мою математику, даже лучшие из нас отбрасывают нечетный отрицательный знак, и это длинный вопрос. f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Эта функция имеет вертикальную асимптоту при x = 2, потому что знаменатель равен нулю, когда x = 2. Он приближается к 1 сверху, к Подробнее »

Bb l (лямбда) = (39,81) + лямбда (8, 27) bb r (t) = (4t ^ 2 + 3, 3t ^ 3) bbr (3) = (39,81) bb r '(t ) = (8t, 9t ^ 2) Это касательный вектор. bb r '(3) = (24, 81) Касательная имеет вид: bb l (лямбда) = bb r (3) + лямбда bb r' (3) = (39,81) + лямбда (24, 81) может немного учесть вектор направления: bb l (лямбда) = (39,81) + лямбда (8, 27) Подробнее »

Лимит 1/5. Дано lim_ (xto0) sinx / (5x) Мы знаем, что цвет (синий) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1, поэтому мы можем переписать наши данные как: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5 Подробнее »

Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C Нам даны: int ln (xe ^ x) / (x) dx с использованием ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx Использование ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x) ) + xln (e)) / (x) dx Использование ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx. Разделение дроби (x / x = 1): = int (ln (x) / x + 1) dx Разделение суммированных интегралов: = int ln (x) / xdx + int dx Второй интеграл - просто x + C, где C - произвольная постоянная. Первый интеграл, мы используем u-подстановку: Пусть u эквивалента ln (x), следовательно, du = 1 / x dx Использование u-подстановки: = int udu + x + C И Подробнее »

T = 0 и t = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 Критические точки функции - это место, где производная функции равна нулю или не определена. Начнем с нахождения производной. Мы можем сделать это, используя степенное правило: d / dt (t ^ n) = nt ^ (n-1) s '(t) = 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t Функция определена для всех действительных чисел, поэтому мы не найдем критических точек таким образом, но мы можем решить для нулей функции: 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t (t ^ 2 + 3t-1) = 0 Используя принцип нулевого фактора Мы видим, что t = 0 является решением. Мы можем решить, когда квадратичный фактор равен нулю, используя квадратную формулу: t = ( Подробнее »

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C Подробнее »

Последовательность имеет то же поведение, что и n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n, когда n большое. Вы должны немного манипулировать выражением, чтобы сделать это утверждение выше ясным. Разделите все члены на п ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Все эти ограничения существуют, когда n-> oo, поэтому имеем: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, поэтому последовательность стремится к 0 Подробнее »

Х в {-3/2, 3/2} Этот вопрос фактически задает вопрос о том, где касательные линии у = 1 / х (которые можно рассматривать как наклон в точке касания) параллельны у = -4 / 9й + 7. Поскольку две линии параллельны, когда они имеют одинаковый наклон, это равносильно тому, чтобы спросить, где y = 1 / x имеет касательные линии с наклоном -4/9. Наклон прямой, касательной к y = f (x) в точке (x_0, f (x_0)), определяется выражением f '(x_0). Вместе с вышеизложенным это означает, что наша цель состоит в том, чтобы решить уравнение f '(x) = -4/9, где f (x) = 1 / x. Взяв производную, мы имеем f '(x) = d / dx1 / x = -1 / x ^ Подробнее »

F '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) sin (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = sec ^ 2x g '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f' (x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) Подробнее »

Цвет (синий) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) If: y = ln (x) <=> e ^ y = x Использование этого определения для заданная функция: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x) Неявное дифференцирование: e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^ (- 3x) Деление на: цвет (белый) (88) bb (e ^ y) dy / dx = (1-3e ^ (- 3x)) / e ^ y Сверху: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x):. ду / дх = цвет (синий) ((1-3e ^ (- 3x)) / (х + 4 + е ^ (- 3x))) Подробнее »

Готфрид Вильгельм Лейбниц был математиком и философом. Многие из его вкладов в мир математики были в форме философии и логики, но он гораздо более известен тем, что обнаружил единство между интегралом и областью графа. Он был прежде всего сосредоточен на объединении исчисления в одну систему и создании обозначений, которые однозначно определяли бы исчисление. Он также открыл такие понятия, как высшие производные, и глубоко проанализировал правила продукта и цепочки. Лейбниц в основном работал со своей собственной изобретенной нотацией, такой как: y = x, чтобы обозначить функцию, в этом случае f (x) - это то же самое, что y Подробнее »

Сэр Исаак Ньютон был уже хорошо известен своими теориями гравитации и движения планет. Его разработки в исчислении должны были найти способ объединить математику и физику движения планет и гравитации. Он также ввел понятие правила произведения, правила цепи, ряда Тейлора и производных выше первой производной. Ньютон в основном работал с нотацией функций, такой как: f (x) для обозначения функции f '(x) для обозначения производной функции F (x) для обозначения антипроизводного функции Так, например, правило продукта выглядит вот так: «Пусть» h (x) = f (x) g (x). «Тогда» h '(x) = f' (x) g (x) + Подробнее »

В реальной жизни разрыв непрерывности эквивалентен перемещению вверх по карандашу, когда вы строите графическую функцию. См. Ниже. Имея в виду эту идею, существует несколько типов разрывов. Предотвращаемый разрыв Прерывистость бесконечного скачка и разрыв конечного скачка Вы можете увидеть этот тип на нескольких интернет-страницах. например, это конечный скачок разрыва. Математически, непрерывность эквивалентна тому, что: lim_ (xtox_0) f (x) существует и равен f (x_0) Подробнее »

Функция имеет разрыв, если она не определена для определенного значения (или значений); Есть 3 типа разрыва: бесконечный, точечный и скачкообразный. Многие общие функции имеют один или несколько разрывов. Например, функция y = 1 / x не является четко определенной для x = 0, поэтому мы говорим, что она имеет разрыв для этого значения x. Смотрите график ниже. Обратите внимание, что там кривая не пересекается при x = 0. Другими словами, функция y = 1 / x не имеет значения y для x = 0. Аналогично, периодическая функция y = tanx имеет разрывы при x = pi / 2, (3pi) / 2, (5pi) / 2 ... В рациональных функциях возникают бесконечные Подробнее »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C, так как знаменатель уже учтено, все, что нам нужно сделать, чтобы сделать частичные дроби, это решить для констант: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Обратите внимание, что нам нужно и x, и постоянный член в левой части, потому что числитель всегда на 1 градус ниже знаменатель. Мы могли бы умножить на левый знаменатель, но это было бы огромной работой, поэтому мы можем вместо этого быть умными и использовать метод сокрытия. Я не буду подробно останавливаться на этом п Подробнее »

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Наша большая проблема в этом интеграле - корень, поэтому мы хотим от него избавиться. Мы можем сделать это, введя подстановку u = sqrt (2x-1). Тогда производная равна (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1). Таким образом, мы делим (и помните, что деление на обратное равнозначно умножению на знаменатель) для интегрирования по u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / отмена (sqrt (2x-1)) отменить (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Теперь все, что нам нужно сделать, это выразить x ^ 2 через u (поскольку вы не можете интегрировать x Подробнее »

C = 2/3 Чтобы функция f (x) была непрерывной при x = 2, должно выполняться следующее условие: lim_ (x-> 2) f (x) существует. f (2) существует (здесь это не проблема, поскольку f (x) четко определено при x = 2. Давайте исследуем первый постулат. Мы знаем, что для существования предела пределы левой и правой руки должны быть равны. Математически: lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) Это также показывает, почему нас интересует только x = 2: это единственное значение x для эта функция определяется как разные вещи справа и слева, что означает, что существует вероятность того, что пределы левой и правой руки Подробнее »

А) f (4) = pi / 2; б) е (4) = 0 а) дифференцировать обе стороны. Из второй фундаментальной теоремы исчисления в левой части и правил произведения и цепочки в правой части мы видим, что дифференциация показывает, что: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix ) Обозначение x = 2 показывает, что f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Интегрируем внутренний член. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (пикс) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (пикс) Оценить. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (пикс) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (пикс) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (пикс) Пусть х = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 Подробнее »

(C) Отметив, что функция f дифференцируема в точке x_0, если lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L, данная информация эффективно заключается в том, что f дифференцируема в 2 и что f '(2) = 5. Теперь рассмотрим утверждения: I: Истинная дифференцируемость функции в точке подразумевает ее непрерывность в этой точке. II: True Данная информация соответствует определению дифференцируемости при x = 2. III: False Производная функции не обязательно является непрерывной, классическим примером является g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x), если x! = 0), (0, если x = 0):}, что дифференцируемо в 0, но чья производная имеет разрыв в Подробнее »

Y = -48x - 79 Линия, касающаяся графика y = f (x) в точке (x_0, f (x_0)) - это линия с наклоном f '(x_0) и проходящая через (x_0, f (x_0)) , В этом случае нам задают (x_0, f (x_0)) = (-2, 17). Таким образом, нам нужно только вычислить f '(x_0) как наклон, а затем включить это в уравнение точки-наклона линии. Вычисляя производную от f (x), получаем f '(x) = 8x ^ 3-8x => f' (- 2) = 8 (-2) ^ 3-8 (-2) = -64 + 16 = -48 Итак, касательная имеет наклон -48 и проходит через (-2, 17). Таким образом, это уравнение у - 17 = -48 (х - (-2)) => у = -48х - 79 Подробнее »

F (x) = x Мы ищем функцию f: RR rarr RR такую, что решение f (x) = f ^ (- 1) (x), то есть мы ищем функцию, которая является собственной обратной. Одной из очевидных таких функций является тривиальное решение: f (x) = x. Однако более тщательный анализ проблемы имеет значительную сложность, как исследовали Нг Ви Ленг и Хо Фу Хим, опубликованные в журнале Ассоциации учителей математики. , http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf Подробнее »

3 / (4a) (x ^ 3 - a ^ 3) = (xa) (x ^ 2 + a x + a ^ 2) (x ^ 4 - a ^ 4) = (x ^ 2-a ^ 2) ( x ^ 2 + a ^ 2) = (xa) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2) => (x ^ 3-a ^ 3) / (x ^ 4-a ^ 4) = (( отменить (xa)) (x ^ 2 + a x + a ^ 2)) / ((отменить (xa)) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2)) "Теперь заполните x = a:" = (3 a ^ 2) / ((2 a ^ (2 a ^ 2)) = 3 / (4a) "Мы также могли бы использовать правило l 'Hôpital:" "Получение числителя и знаменателя дает:" "(3 x ^ 2) / (4 x ^ 3) = 3 / (4x) "Теперь заполните x = a:" "= 3 / (4a) Подробнее »

Мы начинаем с дифференциации, используя правило продукта и правило цепи. Пусть у = и ^ (1/2) и и = х. y '= 1 / (2u ^ (1/2)) и u' = 1 y '= 1 / (2 (x) ^ (1/2)) Теперь по правилу произведения; f '(x) = 0 xx sqrt (x) + 1 / (2 (x) ^ (1/2)) xx 5/2 f' (x) = 5 / (4sqrt (x)) Скорость изменения при любая заданная точка на функции определяется путем вычисления x = a в производную. Вопрос говорит, что скорость изменения при x = 3 в два раза больше скорости изменения при x = c. Наш первый заказ - найти скорость изменения при x = 3. rc = 5 / (4sqrt (3)). Скорость изменения при x = c равна 10 / (4sqrt (3)) = 5 / (2sqr Подробнее »

-1.11164 «Это интеграл рациональной функции». «Стандартная процедура разделения на частичные дроби». «Сначала мы ищем нули знаменателя:« x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x (x - 1) (x - 4) = 0 => x = 0, 1 или 4 «Таким образом, мы разбиваем на части:» (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2 , 4A = 1 => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 «Итак, мы имеем» (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + (3/4) ln (| x-4 Подробнее »

Касательные имеют 25x-9y + 54 = 0 и y = x + 6. Пусть наклон касательной равен m. Тогда уравнение касательной имеет вид y-6 = mx или y = mx + 6. Теперь давайте рассмотрим точку пересечения этой касательной и заданной кривой y = (x + 2) / (x + 3). Для этого положив y = mx + 6, мы получаем mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) или (mx + 6) (x + 3) = x + 2, т.е. mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 или mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 Это должно дать два значения x, то есть две точки пересечения, но касательная пересекает кривую только в одной точке. Следовательно, если y = mx + 6 - касательная, у нас должен быть только один корень для квадратного Подробнее »

Он имеет критические точки только для k> 0. Сначала давайте вычислим первую производную h (x). h ^ (простое) (x) = d / (dx) [e ^ (- x) + kx] = d / (dx) [e ^ (- x)] + d / (dx) [kx] = - e ^ (- x) + k Теперь, чтобы x_0 была критической точкой h, она должна удовлетворять условию h ^ (простое) (x_0) = 0 или: h ^ (простое) (x_0) = -e ^ ( -x_0) + k = 0 <=> e ^ (- x_0) = k <=> -x_0 = ln (k) <=> <=> x_0 = -ln (k) Теперь натуральный логарифм k равен определено для k> 0, поэтому h (x) имеет только критические точки для значений k> 0. Подробнее »

Давайте назовем длину сторон N и S x (футами), а две другие мы назовем y (также в футах). Тогда стоимость забора составит: 2 * x * $ 10 для N + S и 2 * y * $ 15 за E + W Тогда уравнение для общей стоимости забора будет: 20x + 30y = 480. Выделим y: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Площадь: A = x * y, заменяя y в уравнении, мы получаем: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Чтобы найти максимум, мы должны дифференцировать эту функцию, а затем установить производную на 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 Что решает для x = 12 Подставляя в более раннее уравнение y = 16-2 / 3 x = 8 Ответ: N и S стороны 12 футов E и W стор Подробнее »

Dy / dx = (3 с ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Правило цепочки: (f @ g) '(x) = f' (g (x)) * g '(x) Сначала дифференцируйте внешнюю функцию, оставив внутреннюю часть в покое, а затем умножьте на производную внутренней функции. y = tan sqrt (3x-1) dy / dx = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx sqrt (3x-1) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx (3x-1) ) ^ (1/2) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * 1/2 (3x-1) ^ (- 1/2) * d / dx (3x-1) = sec ^ 2 sqrt (3x- 1) * 1 / (2 sqrt (3x-1)) * 3 = (3 sec ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Подробнее »

1 f (n) = n ^ (1 / n) подразумевает log (f (n)) = 1 / n log n Теперь lim_ {n -> oo} log (f (n)) = lim_ {n -> oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n -> oo} {d / (dn) log n} / {d / (dn) n} = lim_ {n-> oo} (1 / n) / 1 = 0, поскольку log x - непрерывная функция, мы имеем log (lim_ {n to oo} f (n)) = lim_ {n to oo} log (f (n)) = 0 подразумевает lim_ {n to oo} f (n) = e ^ 0 = 1 Подробнее »

Lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 мы ищем: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x) ) Когда мы оцениваем предел, мы смотрим на поведение функции «рядом» с точкой, а не обязательно на поведение функции «в» точке, о которой идет речь, таким образом, как x rarr 0, ни в одной точке мы не должны учитывать, что происходит в x = 0, таким образом, мы получаем тривиальный результат: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = lim_ (x rarr 0) 1 = 1 Для ясности график функции для визуализации поведения вокруг графика x = 0 {sin (1 / x) / sin (1 / x) [-10, 10, -5, 5]} Должно быть ясно, ч Подробнее »

Предела не существует. Когда x приближается к 1, аргумент pi / (x-1) принимает значения pi / 2 + 2pik и (3pi) / 2 + 2pik бесконечно часто. Таким образом, sin (pi / (x-1)) принимает значения -1 и 1, бесконечно много раз. Значение не может приближаться к одному ограничивающему числу. graph {sin (pi / (x-1)) [-1,796, 8,07, -1,994, 2,94]} Подробнее »

«См. Объяснение» «Примените определение | x |:» f (x) = | x | => {(f (x) = x, x> = 0), (f (x) = -x, x <= 0):} "Теперь выводим:" {(f '(x) = 1, x> = 0), (f '(x) = -1, x <= 0):} "Итак, мы видим, что в x = 0 есть разрыв для f' (x)." «В остальном, это дифференцируемо везде». Подробнее »

Сигма телескопическая серии 1 (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n )) Сигма ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Это коллапсирующая (телескопическая) серия. Его первый член равен -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2. Подробнее »

Второй производный тест подразумевает, что критическое число (точка) x = 4/7 дает локальный минимум для f, не говоря о природе f в критических числах (точках) x = 0,1. Если f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3, то Правило продукта гласит: f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) Установка этого значения равным нулю и решение для x подразумевает, что f имеет критические числа (точки) при x = 0,4 / 7,1. Использование правила продукта снова дает: f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1) Подробнее »

Sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) Пусть: S = x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n-1)) Если неясно, каков эффект, тогда лучший вариант чтобы расширить несколько условий суммирования: S = x ^ 2 {0a_0x ^ (- 1) + 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ...} = {0a_0x ^ (1 ) + 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ...} Затем мы можем поместить серию обратно в нотацию «сигма»: S = sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ ( п + 1)) Подробнее »

V = единицы измерения объема 8pi. По существу, ваша проблема заключается в следующем: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Помните, что объем тела определяется выражением: V = piint (f (x)) ^ 2 dx. Таким образом, наш исходный интеграл соответствует: V = piint_0 ^ 4 (x) dx, который, в свою очередь, равен: V = pi [x ^ 2 / (2)] между x = 0 как нашим нижним пределом и x = 4 как нашим верхним пределом. Используя фундаментальную теорему исчисления, мы подставляем наши пределы в наше интегрированное выражение, вычитая нижний предел из верхнего. V = пи [16 / 2-0] V = 8pi единиц объема Подробнее »

Предел позволяет нам исследовать тенденцию функции вокруг заданной точки, даже если функция не определена в этой точке. Давайте посмотрим на функцию ниже. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Поскольку его знаменатель равен нулю, когда x = 1, f (1) не определено; однако, его предел в x = 1 существует и указывает, что значение функции приближается к 2 там. lim_ {x to 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x to 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x to 1 } (x + 1) = 2 Этот инструмент очень полезен в исчислении, когда наклон касательной линии аппроксимируется наклонами секущих линий с близкими точками пересечения, что мотивирует определение произво Подробнее »

Цвет (синий) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2))) Нам нужно неявно дифференцировать это, потому что у нас нет функции в терминах одной переменной. Когда мы дифференцируем y, мы используем правило цепочки: d / dy * dy / dx = d / dx. Например, если бы у нас было: y ^ 2 Это было бы: d / dy (y ^ 2) * dy / dx = 2ydy / dx В этом примере нам также нужно использовать правило произведения для термина xy ^ 2 Запись sqrt (y) как y ^ (1/2) y ^ (1/2) + xy ^ 2 = 5 Дифференцирование: 1 / 2y ^ (-1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 1 / 2y ^ (- 1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2 Фактор out dy / dx: dy / dx (1 / 2y ^ (- 1/2) + 2x Подробнее »

V = 685 / 32pi кубических единиц. Сначала нарисуйте графики. y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x-перехват y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 И у нас есть {(x = 0), (x = 1):} Таким образом, перехватчики (0,0) и (1,0) Получить вершину: y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 Таким образом, вершина находится в (1/2, -1 / 4). Повторите предыдущее: y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 И у нас есть {(x = sqrt (3) ), (x = -sqrt (3)):} Таким образом, перехваты (sqrt (3), 0) и (-sqrt (3), 0) y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 Итак, вершина в (0,3) Результат: Как получить объем? Мы будем использовать метод диска! Этот ме Подробнее »

124,5 int_1 ^ 4 (2x ^ 3-2x + 4) dx = [((2x ^ 4) / 4) - ((2x ^ 2) / 2) + 4x] С верхним пределом x = 4 и нижним пределом x = 1 Примените свои пределы в интегрированном выражении, то есть вычтите свой нижний предел из своего верхнего предела. = (128-16-16) - ((1/2) -1 + 4) = 128-3 (1/2) = 124,5 Подробнее »

Точка перегиба: ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) «И» ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) 1 - Сначала мы должны найти вторую производную нашей функции. 2 - Во-вторых, мы приравниваем эту производную ((d ^ 2y) / (dx ^ 2)) к нулю y = sinx + cosx => (dy) / (dx) = cosx-sinx => (d ^ 2y) / ( dx ^ 2) = - sinx-cosx Далее, -sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0 Теперь мы выразим это в виде Rcos (x + lamda) где лямбда - это просто острый угол, а R - это положительное целое число должно быть определено. Вот так sinx + cosx = Rcos (x + lambda) => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda Приравнивая коэффициенты sinx и cosx по обе стороны ура Подробнее »

Int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c Чтобы эта задача имела смысл 4-9x ^ 2> = 0, поэтому -2/3 <= x <= 2/3. Поэтому мы можем выбрать 0 <= u <= pi так, чтобы x = 2 / 3cosu. Используя это, мы можем заменить переменную x в интеграле, используя dx = -2 / 3sinudu: int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u) )) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu здесь мы используем это 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u и это для 0 <= u <= pi sinu> = 0. Теперь мы используем интеграцию по частям, чтобы найти intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu Подробнее »

Сначала нам нужно манипулировать выражением, чтобы перевести его в более удобную форму. Давайте поработаем с выражением (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4-h ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h- 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Теперь принимая ограничения, когда h-> 0, мы имеем: lim_ (h-> 0 ) (- ч-4) / (4 (ч + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4 Подробнее »

1 / (sqrt2) загар ^ -1 ((Tanx-1) / (SQRT (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) пер | (Tanx-SQRT (2tanx) + 1) / (Tanx-SQRT (2tanx) + 1) | + C Мы начинаем с подстановки u с u = sqrt (tanx) Производная от u: (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)), поэтому мы делим на что интегрировать по отношению к u (и помните, деление на дробь - это то же самое, что умножение на его обратное): int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx) ) / sec ^ 2x du = = int 2 / sec ^ 2x du Поскольку мы не можем интегрировать x по u, мы используем следующее тождество: sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 Это дает: int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / ( Подробнее »

Самый простой способ представить двойной интеграл - это объем под поверхностью в трехмерном пространстве. Это аналогично представлению о нормальном интеграле как о области под кривой. Если z = f (x, y), то int_y int_x (z) dx dy будет объемом под этими точками z для доменов, заданных y и x. Подробнее »

- (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 sqrt ((x + 1) / (2x-1)) f (x) = u ^ n f '(x) = n xx ( du) / dx xxu ^ (n-1) В этом случае: sqrt ((x + 1) / (2x-1)) = ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2): n = 1/2, u = (x + 1) / (2x-1) d / dx = 1/2 xx (1xx (2x-1) - 2xx (x + 1)) / (2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1 / 2-1) = 1 / 2xx (-3) / ((2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x- 1)) ^ (1 / 2-1) = - (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2) Подробнее »

Первый шаг - переписать функцию как рациональный показатель степени f (x) = sin (x) ^ {1/2}. После того, как вы получили выражение в этой форме, вы можете дифференцировать его с помощью правила цепочки: В вашем случае: u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) Тогда 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x), который является вашим ответ Подробнее »

(dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Я предполагаю, что вы хотите найти (dy) / (dx). Для этого нам сначала нужно выражение для у в терминах х. Отметим, что эта задача имеет различные решения, поскольку tan (x) является периодической функцией, и tan (x-y) = x будет иметь несколько решений. Однако, поскольку мы знаем период касательной функции (pi), мы можем сделать следующее: xy = tan ^ (- 1) x + npi, где tan ^ (- 1) - обратная функция касательной, дающая значения между -pi / 2 и pi / 2 и коэффициент npi были добавлены для учета периодичности касательной. Это дает нам y = x-tan ^ (- 1) x-npi, поэтому (dy) / (dx) = 1-d / (dx) t Подробнее »

Y = -2x + pi / 2 Чтобы найти уравнение касательной к кривой y = cos (2x) при x = pi / 4, начните с взятия производной от y (используйте правило цепочки). y '= - 2sin (2x) Теперь добавьте ваше значение для x в y': -2sin (2 * pi / 4) = - 2 Это наклон касательной в точке x = pi / 4. Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно значение для y. Просто вставьте значение x в исходное уравнение для y. y = cos (2 * pi / 4) y = 0 Теперь используйте форму наклона точки, чтобы найти уравнение касательной линии: y-y_0 = m (x-x_0) где y_0 = 0, m = -2 и x_0 = pi / 4. Это дает нам: y = -2 (x-pi / 4) Упрощение, y = -2x + pi / 2 Над Подробнее »

Определенный интеграл по интервалу [a, b] для f изначально определен для функции f, которая включает в себя [a, b] в своей области. То есть: мы начинаем с функции f, которая определена для всех x в [a, b]. Неправильные интегралы расширяют начальное определение, позволяя a, или b, или обоим, находиться за пределами области f (но на «ребре» поэтому мы можем искать пределы) или интервал, в котором отсутствуют левые и / или правые конечные точки (бесконечные интервалы). Примеры: int_0 ^ 1 lnx dx color (white), подинтегрант sssssssssss не определен в 0 int_5 ^ 7 1 / (x ^ 2-25) dx color (white), подинтегрант ssssss не Подробнее »

(dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Я имею в виду http://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-derivative-of-tan-xyx -1? AnswerSuccess = 1, где мы нашли, что задано x = tan (xu); (du) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) (для удобства я заменил y на u). Это означает, что если мы заменим u на -y, то получим, что для x = tan (x + y); - (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2), поэтому (dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2). Подробнее »

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C Мы имеем int root3x / (root3x-1) dx Подставим u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) Du = INT (3x) / (root3x-1) ди = INT (3 (и + 1) ^ 3) / уда = 3INT (и ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / уда = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Восстановить u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3LN (абс (root3x-1)) + С Подробнее »

Ду / дх = csin (сх) сов (х) зт ^ (с-1) (х) + csin ^ с (х) сов (сх) = csin (х) ^ (с-1) Sin (Сх + х) Для данной функции y = f (x) = uv, где u и v - функции x, мы получаем: dy / dx = u'v + v'u u = sin (cx) u '= c cos (cx) v = sin ^ c (x) v '= c cos (x) sin ^ (c-1) (x) dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ с (х) сов (ая) = csin (х) ^ (с-1) Sin (См + х) Подробнее »

Когда cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) = 0 Нам дают f (x, y) = sin (x) cos (y) + e ^ xtan ( y) Критические точки возникают, когда (delf (x, y)) / (delx) = 0 и (delf (x, y)) / (dely) = 0 (delf (x, y)) / (delx) = cos ( x) cos (y) + e ^ xtan (y) (delf (x, y)) / (dely) = - sin (x) sin (y) + e ^ xsec ^ 2 (y) sin (y) sin ( х) + Cos (у) сова (х) + е ^ xtan (у) -e ^ мксек ^ 2 (у) = совы (х) + е ^ х (тангенс (у) -втор ^ 2 (у)) = сов (х) + е ^ х (тангенс (у) - (1 + загар ^ 2 (у))) = совы (х) + е ^ х (-tan ^ 2 (у) + тангенс (у) -1) Нет реального способа найти решение, но критические точки возникают, когда cos (xy) + e ^ x Подробнее »

F (x) = lnx + 1 Разобьем неравенство на 2 части: f (x) -1> = lnx -> (1) f (x / e) <= lnx-> (2) Давайте посмотрим на (1) : Мы переставляем, чтобы получить f (x)> = lnx + 1. Давайте посмотрим на (2): Предположим, что y = x / e и x = ye. Мы по-прежнему выполняем условие y в (0, + oo) .f (x / e) <= lnx f (y) <= lnye f (y) <= lny + lne f (y) <= lny + 1 y inx поэтому f (y) = f (x). Из 2 результатов f (x) = lnx + 1 Подробнее »

Степенное правило: если f (x) = x ^ n, то f '(x) = nx ^ (n-1) Суммарное правило: если f (x) = g (x) + h (x), то f' (x) = g '(x) + h' (x) Правило произведения: если f (x) = g (x) h (x), то f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Факторное правило: если f (x) = g (x) / (h (x)), то f' (x) = (g '(x) h (x) - g (x) h' ( x)) / (h (x)) ^ 2 Цепное правило: если f (x) = h (g (x)), то f '(x) = h' (g (x)) g '(x) или: dy / dx = dy / (du) * (du) / dx Для получения дополнительной информации: http://socratic.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation-rules Подробнее »

Е ^ (- 2x) = sum_ (п = 0) ^ оо (-2) ^ п / (п!) х ^ п = 1-2x + 2 ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. .. Случай ряда Тейлора, расширенного около 0, называется рядом Маклаурина. Общая формула для ряда Маклаурина: f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) X ^ n Чтобы разработать ряд для нашей функции, мы можем начать с функции для е ^ х, а затем использовать это, чтобы выяснить формулу для е ^ (- 2х). Чтобы построить ряд Маклаурина, нам нужно вычислить n-ю производную от e ^ x. Если мы возьмем несколько производных, мы можем довольно быстро увидеть шаблон: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e ^ x На самом деле n-я про Подробнее »

Пропускная способность вида - это максимальная популяция этого вида, которую окружающая среда может поддерживать в течение неопределенного времени при наличии доступных ресурсов. Он действует как верхний предел для функций роста населения. На графике предполагается, что функция роста населения изображена с независимой переменной (обычно t в случае роста населения) на горизонтальной оси, а зависимая переменная (население в данном случае f (x)) на вертикальной оси , пропускная способность будет горизонтальной асимптотой. При нормальном ходе событий, за исключением экстремальных обстоятельств, население не превзойдет пропускн Подробнее »

1/2 [-ln (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) + 1)) + п (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) - 1))] + SQRT (1 + е ^ (2x)) + C Сначала подставим: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Выполнить вторая замена: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Разделить, используя частичные дроби: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2. Теперь мы имеем: Подробнее »