Исчисление

В учебнике я использую (исчисление Стюарта) критическую точку f = критическое число для f = значение x (независимая переменная), равное 1) в области f, где f 'равно 0 или не существует. (Значения x, которые удовлетворяют условиям теоремы Ферма.) Точка перегиба для f - это точка на графе (имеющая обе координаты x и y), в которой изменяется вогнутость. (Другие люди, похоже, используют другую терминологию. Я не знаю, ошиблись ли они или просто используют другую терминологию ... Но в учебниках, которые я использовал в США с начала 80-х годов, все использовали это определение.) Подробнее »

Я бы сказал, что функция разрывна в точке а, если она непрерывна вблизи а (в открытом интервале, содержащем а), но не в точке а. Но есть и другие определения. Функция f непрерывна под номером a тогда и только тогда, когда: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Для этого необходимо, чтобы: 1 "" f (a) существовало. (a находится в области f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) должен существовать 3 Числа в 1 и 2 должны быть равны. В самом общем смысле: если f не является непрерывным в a, то f разрывно в a. Тогда некоторые скажут, что f прерывисто в точке a, если f не является непрерывной, тогда как другие будут использовать сл Подробнее »

Pi / 4 Длина дуги f (x), x в [ab] определяется как: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Так как у нас просто y = 0, мы можем просто взять длину прямой s от 0 до pi / 4, которая равна pi / 4- 0 = пи / 4 Подробнее »

Это (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Метод f (x) = sin ^ 7 (x) Очень полезно переписать это как f (x) = (sin (x)) ^ 7 потому что это дает понять, что мы имеем 7 ^ (th) степенную функцию. Используйте правило мощности и правило цепочки (эта комбинация часто называется обобщенным правилом мощности.) Для f (x) = (g (x)) ^ n производная равна f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), в других обозначениях d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) В любом случае для вашего вопроса f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Вы можете написать f' (x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) При x = - pi / 3 мы имеем f '(- pi / 3) = 7sin Подробнее »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Мы знаем, что int1 / xdx = lnx + C, поэтому: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Следовательно, f ( х) = Ln (х + 3) + С. Нам дано начальное условие f (2) = 1. Делая необходимые замены, мы имеем: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C. Теперь мы можем переписать f (x) как f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, и это наш окончательный ответ. Если вы хотите, вы можете использовать следующее свойство натурального журнала для упрощения: lna-lnb = ln (a / b) Применяя это к ln (x + 3) -ln5, мы получим ln ((x + 3) / 5) таким образом, мы можем далее выразить наш ответ как f (x) = ln ((x + 3 Подробнее »

Ln (x / 2) +1> Производная от lnx = 1 / x, следовательно, антипроизводная 1 / x "есть" lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c Чтобы найти c, используйте f ( 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2, используя • lnx-lny = ln (x / y) «для упрощения» rArr int1 / x dx = ln ( х / 2) +1 Подробнее »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Интегрирование f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 включает постоянную интегрирования ( c) быть найденным путем оценки для x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Подробнее »

Я нашел: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3. Мы решаем неопределенный интеграл: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c, а затем мы используем наше условие, чтобы найти c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c так: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 и, наконец, f (x) = х ^ 3/3 + х ^ 2 / 2-3x + 13/3 Подробнее »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Подстановка в 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Поскольку f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 Подробнее »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 мы используем интегрирование по частям f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx в этом случае u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Подробнее »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Use u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int (( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Возвращение u = sqrt (1 + x ^ 2) обратно дает: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( абс (SQRT (1 + х ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (аб Подробнее »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13.0,0.0768 ^ c) Для заданного набора координат (x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13.0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0.0768 ^ c) Подробнее »

На это нельзя ответить без контекста. Вот некоторые из применений в математике. Множество имеет бесконечное количество элементов, если оно может быть отображено один в один на собственное подмножество. Это не использование бесконечности в исчислении. В исчислении мы используем «бесконечность» тремя способами. Обозначение интервала: Символы oo (соответственно -oo) используются для указания того, что интервал не имеет правой (соответственно левой) конечной точки. Интервал (2, oo) совпадает с заданным бесконечным пределом x Если предел не существует, поскольку при приближении x к a значения f (x) растут без ограниче Подробнее »

Мгновенная скорость - это скорость, с которой объект движется именно в тот момент, который указан. Если я еду на север со скоростью 10 м / с ровно на десять секунд, затем поворачиваю на запад и еду ровно 5 м / с еще ровно на десять секунд, моя средняя скорость составляет примерно 5,59 м / с в направлении (примерно) север на северо-запад. Тем не менее, моя мгновенная скорость - это моя скорость в любой заданной точке: ровно через пять секунд после начала поездки моя мгновенная скорость равна 10 м / с к северу; ровно через пятнадцать секунд, это 5 м / с на запад. Подробнее »

Разобьем интервал [a, b] на n подинтервалов равной длины. [a, b] - {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, где a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Мы можем аппроксимировать определенный интеграл int_a ^ bf (x) dx по правилу трапеции T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ба} / {2n} Подробнее »

Правило Лхопиталя используется главным образом для нахождения предела при x-> a функции вида f (x) / g (x), когда пределы f и g при a таковы, что f (a) / g (а) приводит к неопределенной форме, такой как 0/0 или oo / oo. В таких случаях предел производных этих функций можно принять равным x-> a. Таким образом, можно вычислить lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), который будет равен пределу исходной функции. В качестве примера функции, где это может быть полезно, рассмотрим функцию sin (x) / x. В этом случае f (x) = sin (x), g (x) = x. Поскольку x-> 0, sin (x) -> 0 и x -> 0. Таким образом, lim_ (x-> Подробнее »

Правило l'Hopital, если {(lim_ {x к a} f (x) = 0 и lim_ {x к a} g (x) = 0), (или), (lim_ {x к a} f (x) = pm infty и lim_ {x to a} g (x) = pm infty):} затем lim_ {x to a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x to a} {f '( х)} / {г '(х)}. Пример 1 (0/0) lim_ {x to 0} {sinx} / x = lim_ {x to 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Пример 2 (infty / infty) lim_ {x до infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0 Надеюсь что это было полезно. Подробнее »

X = -4 и -8/5 Итак, вертикальная асимптота - это линия, которая простирается вертикально до бесконечности. Если мы заметим, это означает, что координата y кривой значительно достигает бесконечности. Мы знаем, что бесконечность = 1/0. Таким образом, при сравнении с f (x) это означает, что знаменатель f (x) должен быть равен нулю. Следовательно, (5x + 8) (x + 4) = 0 Это квадратное уравнение, корни которого равны -4 и -8/5. Следовательно, при x = -4, -8/5 мы имеем вертикальные асимптоты Подробнее »

Sec (5x) tan (5x) * 5 Производная sec (x) равна sec (x) tan (x). Однако, поскольку угол равен 5x, а не только x, мы используем правило цепи. Таким образом, мы снова умножаем на производную 5x, которая равна 5. Это дает нам наш окончательный ответ как sec (5x) tan (5x) * 5 Надежда, которая помогла! Подробнее »

Если вы предпочитаете обозначения Лейбница, вторая производная обозначается (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Пример: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Если вам нравится обозначение простых чисел, то вторая производная обозначается двумя простыми знаками, в отличие от одной отметки с первым производные: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Аналогично, если функция находится в обозначении функции: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 Most люди знакомы с обеими нотациями, поэтому обычно не имеет значения, какую нотацию вы выбираете, при условии, что люди могут понимать, что вы пишете. Я сам предпочитаю обознач Подробнее »

Рациональная функция - это то, где под чертой есть х. Часть под планкой называется знаменателем. Это накладывает ограничения на область x, так как знаменатель может не сработать и равен 0. Простой пример: y = 1 / x domain: x! = 0 Это также определяет вертикальную асимптоту x = 0, потому что вы можете сделать x как можно ближе до 0, как вы хотите, но никогда не достигните его. Это имеет значение, двигаетесь ли вы к 0 с положительной стороны от отрицательной (см. График). Мы говорим, что lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo и lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo. Таким образом, существует граф разрывов {1 / x [-16.02, 16.01, -8.01, 8.01]} С др Подробнее »

F '(x) = 72x-18 В общем случае правило произведения гласит, что если f (x) = g (x) h (x) с g (x) и h (x) некоторыми функциями x, то f' ( х) = г '(х) (х) + д (х) ч' (х). В этом случае g (x) = 6x-4 и h (x) = 6x + 1, поэтому g '(x) = 6 и h' (x) = 6. Следовательно, f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Мы можем проверить это, сначала вычислив произведение g и h, а затем дифференцируя. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, поэтому f '(x) = 72x-18. Подробнее »

Абсолютные экстремумы функции на отрезке [a, b] могут быть либо локальными экстремумами в этом интервале, либо точками, осциллограммы которых являются a или b. Итак, давайте найдем локальные экстремумы: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (х ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0, если -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Таким образом, наша функция уменьшается в [-2, -1) и в (1,2) и растет в (-1,1), и поэтому точка A (-1-1) является локальным минимумом, а точка B (1,1) - локальный максимум. Теперь давайте найдем ординату точек в экстремумах интервала: y (-2) = - 4 / Подробнее »

Минимальная точка в точке (1 / e, -1 / e) для данного f (x) = x * ln x дает первую производную f '(x), а затем равна нулю. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Решение для f (x) при x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e, поэтому точка (1 / e , -1 / е) находится в 4-м квадранте, который является минимальной точкой. Подробнее »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Давайте перепишем его так: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Теперь нам нужно вывести из снаружи внутрь, используя правило цепи. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Здесь мы получили производную от произведения 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Просто используя базовую алгебру, чтобы получить упрощенную версию: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] И мы получаем решение: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Кстати, вы можете даже переписать начальную за Подробнее »

Функция расстояния: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Давайте этим манипулируем. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Поскольку антидериватив в основном является неопределенный интеграл, это становится бесконечной суммой бесконечно малых dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx что является формулой для длины дуги любой функции, которую вы можете интегрировать после манипуляции. Подробнее »

Мне проще думать об этом, посмотрев сначала на производную. Я имею в виду: что, после дифференциации, приведет к константе? Конечно, переменная первой степени. Например, если ваша дифференциация привела к f '(x) = 5, очевидно, что антидериватив - это F (x) = 5x Итак, антидериватив для константы - это умноженная на переменную (будь то x, y и т. Д. .) Мы могли бы выразить это математически следующим образом: intcdx <=> cx Обратите внимание, что c искажает 1 в интеграле: intcolor (green) (1) * cdx <=> cx Это означает дифференциацию переменной первой степени: f (x ) = x ^ цвет (зеленый) (1), затем f '(x) = Подробнее »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) единиц. > r = 3/4 theta r ^ 2 = 9/16 theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Длина дуги определяется выражением: L = int_-pi ^ pisqrt (9/16 theta ^ 2 + 9/16) d theta Упростить: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Из симметрии: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Применить подстановку theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Это известный интеграл: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Обратное замещение: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Укажите пределы интеграции: L = Подробнее »

Ок 27,879 Это метод набросков. Измельчение некоторых работ было выполнено с помощью компьютера. Длина дуги s = int точка s dt и точка s = sqrt (vec v * vec v) Теперь для vec r = 4 theta hat r vec v = точка r hat r + r точка theta hat theta = 4 точка theta шляпа r + 4 тэта точка тэта шляпа тэта = 4 точка тэта (шляпа r + тета шляпа тета) Итак, точка s = 4 точки тэта ) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (pi) компьютерное решение. Смотрите ссылку на Youtube здесь, чтобы узнать о методе 27.879 компьютерно Подробнее »

Длина дуги ~~ 2.42533 (5dp) Длина дуги отрицательна, поскольку нижняя граница 1 превышает верхнюю границу ln2. У нас есть параметрическая функция вектора, определяемая как: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Для вычисления длины дуги нам потребуется производная по вектору, которую мы можем вычислить, используя правило произведения: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Затем мы вычисляем величину производного вектора: | bb Подробнее »

Sqrt (3) Мы ищем длину дуги вектор-функции: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> для t в [1,2], которую мы можем легко оценить, используя: L = int_alpha ^ бета || bb (ul (r ') (t)) || dt Итак, мы вычисляем производную, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Таким образом, мы получаем длину дуги: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Этот тривиальный результат не должен вызывать удивления, поскольку данное исходное уравнение является уравнением прямой Подробнее »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) Чтобы вычислить этот объем, мы в некотором смысле собираемся разрезать его на (бесконечно тонкие) ломтики. Мы предполагаем регион, чтобы помочь нам в этом, я приложил график, где регион - это часть под кривой. Отметим, что y = x ^ 2-1 пересекает линию x = 5, где y = 24, и что она пересекает линию y = 0, где x = 1 график {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } При вырезании этой области в горизонтальных срезах с высотой dy (очень маленькая высота). Длина этих срезов очень сильно зависит от координаты y. чтобы вычислить эту длину, нам нужно знать расстояние от точки (y, x) на линии y Подробнее »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Умножив кубический корень из t в скобках, получим y = (t ^ (2 + 1) / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Это дает нам y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3). При дифференцировании получаем dy / dx = (7 * t ^ (4). / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Что дает, dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Подробнее »

98 Среднее значение f на [a, b] равно 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Для этой задачи это 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Подробнее »

Среднее значение 4948/5 = 989,6 Среднее значение f на интервале [a, b] равно 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx. Таким образом, мы получаем: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Подробнее »

1 / 2sin (2), приблизительно 0,4546487 Среднее значение c функции f на интервале [a, b] определяется как: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx. Здесь это означает среднее значение. значение: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Давайте используем замену u = x / 2. Это означает, что du = 1 / 2dx. Затем мы можем переписать интеграл следующим образом: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) расщепление 1 / 4 в 1/2 * 1/2 позволяет 1 / 2dx присутствовать в интеграле, поэтому мы можем легко сделать замену 1 / 2dx = du. Нам также нужно изменить границы на границы u, а не x. Для Подробнее »

Среднее значение равно 16/3. Среднее значение функции f на интервале [a, b] равно 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx. Поэтому значение, которое мы ищем, равно 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Подробнее »

Это (4 (sqrt2-1)) / pi. Среднее значение функции f на интервале [a, b] равно 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx. Таким образом, значение, которое мы ищем, равно 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [secx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sec (pi / 4) -sec (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Подробнее »

Среднее значение f на [a, b} равно 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Для этой функции на этом интервале я получаю -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Подробнее »

Увидеть ниже. Среднее значение равно 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Педантическое примечание (12sqrtpi) / pi НЕ имеет рационального знаменателя. Подробнее »

Возьмем конечный интеграл int_1 ^ ooxe ^ -xdx и отметим, что он ограничивает sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Следовательно, оно сходится, поэтому sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) также. Формальное утверждение интегрального теста гласит, что если fin [0, oo) rightarrowRR - монотонно убывающая функция, которая неотрицательна. Тогда сумма sum_ (n = 0) ^ oof (n) сходится тогда и только тогда, когда «sup» _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx конечна. (Тау, Теренс. Анализ I, второе издание. Книжное агентство Индостана. 2009). Это утверждение может показаться немного техническим, но идея заключается в следующем. Взяв в этом случае Подробнее »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Определение производной функции f (x) в точке c можно записать: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h В нашем случае мы можем видеть, что имеем (3 + h) ^ 3, поэтому мы можем догадаться, что функция x ^ 3 и что c = 3. Мы можем проверить эту гипотезу, если мы напишем 27 как 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h. Мы видим, что если c = 3, мы получим: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h, и мы видим, что функция просто значение кубируется в обоих случаях, поэтому функция должна быть f (x) = x ^ 3: lim_ (h-> 0) ((текст (///)) ^ 3- (текст (//)) ^ 3) Подробнее »

Б) f (x) = cos (x), c = pi / 6. Мы знаем: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2. Это означает, что мы можем переписать предел следующим образом: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Рассматривая определение производной функции f (x) в точке c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Разумное предположение состоит в том, что c = pi / 6, и, используя его, мы можем видеть, что входные данные для функции косинуса совпадают с входными данными для f (x) в определении: lim_ (h- > 0) (cos (цвет (красный) (c + h)) - cos (цвет (красный) (c))) / h Это означает, что если c = pi / 6, то f (x) = cos (x ). Подробнее »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Сначала можно разделить дробь на две части: int (1-sin ^ 2 (x) )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Теперь мы можем использовать следующее тождество: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) dx-x Мы знаем, что производная cot (x) - -csc ^ 2 (x), поэтому мы можем добавить знак минус как снаружи, так и внутри интеграла (чтобы они отменяли), чтобы это выяснить: -int -csc ^ 2 ( x) dx-x = -cot (x) -x + C Подробнее »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Мы знаем определение для sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Так как мы знаем ряд Маклаурина для e ^ x, мы можем использовать его для построить один для sinh (х). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Мы можем найти ряд для e ^ - х, заменив x на -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Мы можем вычесть эти два значения друг из друга, чтобы найти числитель определения sinh: color (white) (- е ^ -x.) е ^ х = цвет (белый) (....) 1 + х + х ^ 2/2 + х ^ 3 / (3!) + х ^ 4 / (4!) + х ^ 5 / (5! Подробнее »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] цвет (белый) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] цвет (белый) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5- 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) цвет (белый) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) цвет (белый) (ду / дх) = 5 (5-х) ^ 3 (4 + х) ^ 4-3 (4 + х) ^ 5 (5-х) ^ 2 Подробнее »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) Вам нужно использовать правило цепочки. Напомним, что формула для этого: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Идея состоит в том, что вы сначала берете производную от самой внешней функции, а затем просто работаете путь внутрь. Прежде чем мы начнем, давайте определим все наши функции в этом выражении. У нас есть: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) - самая внешняя функция, поэтому мы начнем с ее производной. Итак: dy / dx = color (blue) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Обратите внимание, что мы все еще сохраняем это ((3x) / 4) там. Помните, что при использ Подробнее »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Начнем с u-замены с u = ln (x). Затем мы делим на производную от u, чтобы интегрировать по u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Теперь нам нужно решить для x в терминах u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du Вы можете догадаться, что это не имеет элементарной анти-производной, и вы были бы правы. Однако мы можем использовать форму для функции мнимой ошибки, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Чтобы получить наш интеграл в эту форму, мы можем иметь только одну квадратную Подробнее »

Увидеть ниже. Учитывая abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n, но sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 и d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3, затем sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3 Подробнее »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Начнем с введения u-замены с u = 1 + cosh (x). Производная от u - это sinh (x), поэтому мы делим на sinh (x), чтобы интегрировать по u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int cancel (sinh (x)) / (отмена (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Этот интеграл является общим интегралом: int 1 / t dt = ln | t | + C интеграл: ln | u | + C Мы можем заменить, чтобы получить: ln (1 + cosh (x)) + C, что является нашим окончательным ответом. Мы удаляем абсолютное значение из логарифма, потому что отмечаем, что cosh положительна в своей области, поэтому в этом нет необходимости. Подробнее »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(формула Фолхабера)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Подробнее »

Увидеть ниже. К сожалению, функция внутри интеграла не интегрируется с чем-то, что не может быть выражено через элементарные функции. Вы должны будете использовать численные методы, чтобы сделать это. Я могу показать вам, как использовать расширение серии, чтобы получить приблизительное значение. Начнем с геометрического ряда: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n для rlt1 Теперь интегрируем по r и используя пределы 0 и x, чтобы получить это: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Интеграция левой части: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = [- ln (1-r)] _ 0 ^ x = -ln (1-x) Тепе Подробнее »

Правило цепочки: f '(g (x)) * g' (x) В дифференциальном исчислении мы используем правило цепочки, когда у нас есть составная функция. В нем говорится: производная будет равна производной внешней функции по отношению к внутренней части, умноженной на производную внутренней функции. Давайте посмотрим, как это выглядит математически: Правило цепи: f '(g (x)) * g' (x) Предположим, у нас есть составная функция sin (5x). Мы знаем: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Таким образом, производная будет равна cos (5x) * 5 = 5cos (5x ) Нам просто нужно найти две наши функции, найти их п Подробнее »

Мы знаем, что функцию можно аппроксимировать с помощью этой формулы f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x), где R_n (x) - остаток. И это работает, если f (x) выводится n раз в x_0. Теперь предположим, что n = 4, иначе вычислить производные слишком сложно. Давайте посчитаем для каждого k = 0 до 4 без учета остатка. Когда k = 0, формула становится такой: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 И мы видим, что e ^ (2/0) неделима, поэтому функция не может быть аппроксимированным в x_0 = 0 Подробнее »

Вот подход ... Давайте посмотрим ... Линейный имеет вид f (x) = mx + b, где m - наклон, x - переменная, а b - y-пересечение. (Вы знали это!) Мы можем найти вогнутость функции, найдя ее двойную производную (f '' (x)) и где она равна нулю. Давай сделаем это тогда! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 Так что это говорит нам о том, что линейные функции должны изгибаться в каждой заданной точке. Зная, что график линейных функций - это прямая линия, это не имеет смысла, не так ли? Поэтому нет никакой точки вогнутости на графиках Подробнее »

Поэтому мне также нужно использовать правило цепочки для (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) подраздел в правиле продукта. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Подробнее »

.Я думаю, что это не стандартизировано. Будучи студентом в университете в США в 1975 году, мы используем исчисление Эрла Своковского (первое издание). Его определение таково: точка P (c, f (c)) на графике функции f является точкой перегиба, если существует открытый интервал (a, b), содержащий c такой, что выполняются следующие соотношения: (i) color (white) (') "" f' '(x)> 0, если a <x <c, и f' '(x) <0, если c <x <b; или (ii) "" f '' (x) <0, если a <x <c, и f '' (x)> 0, если c <x <b. (стр. 146) В учебнике, который я использую для об Подробнее »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Подробнее »

Это экспоненциальная функция от основания b (где следует предположить, что b> 0). Его можно представить как b ^ x = e ^ (xln (b)), так что, используя правило цепочки (см. Правило цепочки) и тот факт, что (e ^ x) '= e ^ x (см. Экспоненты с базой e) дает (b ^ x) '= e ^ (xln (b)) times ln (b) = b ^ x times ln (b) (см. Экспоненциальные функции). Подробнее »

Производная 10x по x равна 10. Пусть y = 10x Дифференцируем y по x. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinced / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Производная 10x по x равна 10. Подробнее »

Существует правило для дифференциации этих функций (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx). Обратите внимание, что для нашей задачи a = 10 и u = х, так что давайте подключим то, что мы знаем. (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx), если u = x, то (du) / (dx) = 1 из-за мощности правило: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1), поэтому вернемся к нашей проблеме, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1), который упрощается до (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x). Это работало бы так же, если бы u было чем-то более сложным, чем x. Многие исчисления имеют дело со способностью связать данную про Подробнее »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Используя следующие стандартные правила дифференцирования: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Мы получаем следующий результат: d / dx2 ^ (sin (пикс)) = 2 ^ (sin (пикс)) * ln2 * cospix * (р) Подробнее »

(d (2pir)) / (dr) color (white) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) по правилу констант для производных color (white) ("XXX") = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Правило константы для производных говорит нам, что если f ( x) = c * g (x) для некоторой константы c, тогда f '(x) = c * g' (x) В этом случае f (r) = 2pir; c = 2pi и g (r) = r Подробнее »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Учитывая, -4 / x ^ 2 Перепишите выражение, используя обозначения (dy) / (dx). д / (дх) (- 4 / х ^ 2) Разбить дробь. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Используя умножение на правило константы, (c * f) '= c * f', выведите -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Перепишите 1 / x ^ 2, используя показатели степени. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Используя правило мощности, d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1), выражение становится, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Упростить. = Цвет (зеленый) (| бар (ул (цвет (белый) (а / а) цвет (черный) (8x ^ -3) цвет (белый) (а / а) |))) Подробнее »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Я считаю, что проще всего думать с точки зрения формы экспоненты и использовать правило степени: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) следующим образом: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (- 1) ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((- 2) x ^ (- 3)) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / х ^ 2-6 / х ^ 3 Подробнее »

-5 теперь степенное правило для дифференциации: d / (dx) (ax ^ n) = беспокойство ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) с использованием правила мощности = -5x ^ 0 = -5, если мы используем определение (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f (x)) / h имеем (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5, как и раньше Подробнее »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx функция абсолютного значения типа y = | x-2 | можно записать так: y = sqrt ((x-2) ^ 2) применить дифференцирование: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) правило упрощения rarrpower, y «= (х-2) / | х-2 | где x! = 2, так что в общем случае d / dxu = u / | u | * (du) / dx Я проверю это дважды, чтобы быть уверенным. Подробнее »

Я предполагаю, что вы имеете в виду равностороннюю гиперболу, поскольку это единственная гипербола, которая может быть выражена как реальная функция одной реальной переменной. Функция определяется как f (x) = 1 / x. По определению, для x в (-infty, 0) cup (0, + infty) производная имеет вид: f '(x) = lim_ {h to 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h до 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h до 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h до 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h до 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Это также может быть получено по следующему правилу деривации для всей альфа ne 1: (x ^ alpha) '= a Подробнее »

5 Не совсем уверен в вашей записи здесь. Я интерпретирую это как: f (x) = 5x Производная: d / dx 5x = 5 Это получается с помощью правила степени: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Из примера: d / дх 5х ^ 1 = (1) * 5х ^ (1-1) = 5 * х ^ 0 = 5 * 1 = 5 Подробнее »

Дополнительный комментарий для начала: обозначение cos ^ -1 для функции обратного косинуса (точнее, обратной функции ограничения косинуса на [0, pi]) широко распространено, но вводит в заблуждение. Действительно, стандартное соглашение для показателей степени при использовании функций триггера (например, cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 предполагает, что cos ^ (- 1) x равно (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x). Конечно, это не так, но запись очень вводит в заблуждение. Альтернативная (и часто используемая) запись arccos x намного лучше. Теперь для производной. Это составная, поэтому мы будем использовать правило цепочки. Мы потребуется ( Подробнее »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Используя фактор-правило, которое равно y = f (x) / g (x), тогда y '= (f' (x) g (x) f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Применение этого для данной задачи, которая является f (x) = (cos ^ -1x ) / x f '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (- 1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, где -1 Подробнее »

При неявном дифференцировании f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Давайте рассмотрим некоторые детали. Заменив f (x) на y, y = cot ^ {- 1} x переписав в терминах котангенса, Rightarrow coty = x путем неявного дифференцирования по x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 путем деления на -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} на триггерное тождество csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Следовательно, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Подробнее »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Процесс: 1.) y = "arccsc" (x) Сначала мы перепишем уравнение в форме, с которой легче работать. Возьмем косеканс обеих сторон: 2.) csc y = x Перепишите с точки зрения синуса: 3.) 1 / siny = x Решите для y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Теперь взять производную проще. Теперь это просто вопрос цепного правила. Мы знаем, что d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) (здесь есть доказательство этой идентичности). Итак, возьмем производную внешней функции, затем умножим на производную 1 / x: 7.) dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Подробнее »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Объяснение: f (x) = e ^ (4x) log (1-x) Преобразование из от 10 до ef (x) = e ^ (4x) ln (1 x) / ln10 с использованием правила продукта, которое равно y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Аналогично для данной задачи, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln (1 x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Подробнее »

-tan (x) / ln (2) f (x) = log_2 (cos (x)) = ln (cos (x)) / ln (2) 1 / ln (2) является просто константой и может игнорироваться. (ln (u)) '= (u') / uu = cos (x), u '= - sin (x) f' (x) = 1 / ln (2) * (- sin (x)) / cos (х) = - тангенс (х) / п (2) Подробнее »

В f (x) = ln (cos (x)) у нас есть функция функции (это не умножение, просто сказать), поэтому нам нужно использовать правило цепочки для производных: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) Для этой задачи при f (x) = ln (x) и g (x) = cos (x) имеем f '(x) = 1 / x и g '(x) = - sin (x), тогда мы включим g (x) в формулу для f' (*). D / dx (ln (cos (x))) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - tan (х). Об этом стоит помнить, когда вы узнаете об интегралах! Скажите им, что дансмат ответил на ваш вопрос! / Подробнее »

Сначала мы перепишем функцию в терминах натуральных логарифмов, используя правило смены базы: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Для дифференциации потребуется использовать правило цепочки: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Мы знаем, что поскольку производная от ln x по x равно 1 / x, тогда производная от ln (e ^ x + 3) по e ^ x + 3 будет 1 / (e ^ x + 3). Мы также знаем, что производная e ^ x + 3 по x будет просто e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x ) Упрощение доходности: d / dx f (x) = (e ^ x) / (ln 4 (e ^ x + 3)) Подробнее »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) решение Давайте y = ln (f (x)) Дифференцируя по x с использованием правила цепочки, получим, y' = 1 / f (x) * f '(x) Аналогичным образом для данной задачи получается, что f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Подробнее »

Дополнительный комментарий для начала: обозначение sin ^ -1 для функции обратного синуса (точнее, обратная функция ограничения синуса на [-pi / 2, pi / 2]) широко распространено, но вводит в заблуждение. Действительно, стандартное соглашение для показателей степени при использовании функций триггера (например, sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 предполагает, что sin ^ (- 1) x равен (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x). Конечно, это не так, но запись очень вводит в заблуждение. Альтернативная (и часто используемая) запись arcsin x намного лучше. Теперь для производной. Это составная, поэтому мы будем использовать правило цепочки. Мы потребу Подробнее »

F '(x) = 2 (cosec2x) Решение f (x) = ln (tan (x)) давайте начнем с общего примера. Предположим, что y = f (g (x)), затем, используя правило цепочки, y' = f '(g (x)) * g' (x) Аналогично следующей задаче, f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) для дальнейшего упрощения, мы умножаем и делим на 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Подробнее »

Метод 1: Мы начнем с использования правила изменения базы, чтобы переписать f (x) эквивалентно как: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Мы знаем, что d / dx [ln x] = 1 / x , (если эта личность выглядит незнакомой, проверьте некоторые видео на этой странице для дальнейшего объяснения). Итак, мы применим правило цепочки: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] Производная от ln x / 6 будет 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Упрощение дает нам: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Метод 2: Первое, что следует отметить, это то, что только d / dx ln (x) = 1 / x, где ln = log_e. Другими словами, только Подробнее »

Я предполагаю, что под логом вы подразумевали логарифм с основанием 10. В любом случае это не должно быть проблемой, поскольку логика применима и к другим базам. Сначала мы применим правило изменения базы: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10). Мы можем считать 1 / ln10 просто константой, поэтому возьмем производную от числитель и применить правило цепочки: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Упростим немного: dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Это наша производная. Имейте в виду, что взятие производных логарифмов без основания e - это всего лишь вопрос использования правила изменения базы для прео Подробнее »

Производная f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Это пример частного правила: частное правило. Правило отношения утверждает, что производная функции f (x) = (u (x)) / (v (x)) имеет вид: f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x) ) v '(х)) / (v (х)) ^ 2. Проще говоря: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, где u и v - функции (в частности, числитель и знаменатель исходной функции f (x)). Для этого конкретного примера мы бы дали u = logx и v = x. Следовательно, u '= 1 / x и v' = 1. Подставляя эти результаты в правило отношения, мы находим: f '(x) = (x xx 1 / x-logx xx 1) / x ^ 2 f' (x) = (1-logx) / x ^ 2. Подробнее »

По правилу отношения y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Эта проблема также может быть решена с помощью правила произведения y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) Исходная функция также может быть переписана с использованием отрицательных показателей. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1- п (х)) / х ^ 2 Подробнее »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Процесс: во-первых, мы немного упростим уравнение. Возьмем секущую с обеих сторон: y = sec ^ -1 x sec y = x Далее, переписать в терминах cos: 1 / cos y = x и решить для y: 1 = xcosy 1 / x = cosy y = arccos (1 / х) Теперь это выглядит намного проще для дифференциации. Мы знаем, что d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)), поэтому мы можем использовать эту идентичность, а также правило цепочки: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Немного упрощения: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) Немного упрощение: dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - Подробнее »

Большинство людей помнят это f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} как одну из производных формул; однако, вы можете получить его путем неявного дифференцирования. Давайте выведем производную. Пусть у = грех ^ {- 1} х. Переписывая с точки зрения синуса, siny = x Путем неявного дифференцирования по x, уютный cdot {dy} / {dx} = 1 Путем деления на уютный, {dy} / {dx} = 1 / cozy By cozy = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} По siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Подробнее »

Производная для этого примера включает в себя правило цепи и правило степени. Перевести квадратный корень в показатель степени. Затем примените правило силы и правило цепи. Затем упростите и уберите отрицательные показатели. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x) )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x) ))) Подробнее »

Кажется, я вспоминаю, как мой профессор забыл, как получить это. Вот что я ему показал: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y), так как tany = x / 1 и sqrt (1) ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => цвет (синий) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Я думаю, он изначально намеревался сделать это: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Подробнее »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Нам нужно правило сумм (u + v + w)' = u '+ v' + w 'и что (x ^ n)' = nx ^ (n-1) так мы получаем f '(x) = 3x ^ 2-6x Подробнее »

Когда вы дифференцируете экспоненту с основанием, отличным от e, используйте правило изменения базы, чтобы преобразовать ее в натуральные логарифмы: f (x) = x * lnx / ln5 Теперь, дифференцируйте и примените правило продукта: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Мы знаем, что производная от ln x равна 1 / x. Если мы будем рассматривать 1 / ln5 как константу, то мы можем уменьшить приведенное выше уравнение до: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5), упрощая выходы: d / dxf (x) = (lnx + 1) / LN5 Подробнее »

Функция f (x) = x * ln (x) имеет вид f (x) = g (x) * h (x), что делает ее пригодной для применения правила продукта. Правило произведения гласит, что для нахождения производной функции, которая является произведением двух или более функций, используйте следующую формулу: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) In В нашем случае мы можем использовать следующие значения для каждой функции: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Когда мы подставляем каждое из них в Правило продукта, мы получаем окончательный ответ: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = ln (x) + 1 Подробнее о правиле продукта можно Подробнее »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Нам потребуется использовать два правила: правило продукта и правило цепочки. Правило произведения гласит: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. Правило цепочки гласит: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, где u является функцией от x, а y является функцией от u. Следовательно, (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' Чтобы найти производную от sqrt (1-x ^ 2) , используйте правило цепочки, где u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)). Подставляя этот результат в ис Подробнее »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Чтобы найти производную от g (x), вы должны дифференцировать каждый член в сумму g' (x) = d / dx (x) + d / dx ( 4 / x) Правило власти во втором члене легче увидеть, переписав его как g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (- 1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g '( x) = 1 - 4x ^ -2 Наконец, вы можете переписать этот новый второй член в виде дроби: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Подробнее »

Вы можете рассматривать i как любую константу, например C. Таким образом, производная от i будет равна 0. Однако при работе с комплексными числами мы должны быть осторожны с тем, что мы можем сказать о функциях, производных и интегралах. Возьмем функцию f (z), где z - комплексное число (то есть f имеет комплексную область). Тогда производная от f определяется аналогично реальному случаю: f ^ prime (z) = lim_ (от h до 0) (f (z + h) -f (z)) / (h), где h теперь комплексное число. Видя, что комплексные числа можно рассматривать как лежащие в плоскости, называемой комплексной плоскостью, мы получаем, что результат этого предела Подробнее »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Вы используете правило цепочки: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). В вашем случае: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) и g (x) = 2x. Поскольку f '(x) = 1 / x и g' (x) = 2, имеем: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / Икс. Подробнее »

С учетом функции (линейной): y = mx + b, где m и b - действительные числа, производная y 'этой функции (по x) равна: y' = m Эта функция, y = mx + b, графически представляет прямую линию, а число m представляет НАКЛОН линии (или, если вы хотите наклон линии). Как вы можете видеть, получение линейной функции y = mx + b дает вам m, наклон линии, который является вполне поддающимся восстановлению результатом, широко используемым в исчислении! В качестве примера вы можете рассмотреть функцию: y = 4x + 5, вы можете получить каждый фактор: производная 4x равна 4, производная 5 равна 0, а затем сложить их вместе, чтобы пол Подробнее »

Производная от pi * r ^ 2 (при условии, что это по отношению к r) имеет цвет (белый) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = цвет (красный) (2pir). В общем, мощность Правило для дифференцирования функции общего вида f (x) = c * x ^ a, где c является константой, составляет (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1). В этом случае color (white) ("XXX") константа (c) равна pi color (white) ("XXX"), показатель степени (a) равен 2 color (white) ("XXX"), и мы используем r в качестве нашей переменной, вместо х Так цвет (белый) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1) цвет (белый) ("XX Подробнее »

Pi / 3 Мы будем использовать правило: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c Другими словами, производная 5x равна 5, производная -99x равна -99, а производная 5 / 7x - 5/7. Данная функция (pix) / 3 одинакова: это константа pi / 3, умноженная на переменную x. Таким образом, d / dx ((pix) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Подробнее »

2 * cos (2x) Я бы использовал правило цепочки: сначала получи грех, а затем аргумент 2x, чтобы получить: cos (2x) * 2 Подробнее »

Предыдущий ответ содержит ошибки. Вот правильный вывод. Прежде всего, знак минус перед функцией f (x) = - sin (x), когда принимает производную, изменит знак производной функции f (x) = sin (x) на противоположный , Это простая теорема в теории пределов: предел постоянной, умноженной на переменную, равен этой константе, умноженной на предел переменной. Итак, давайте найдем производную от f (x) = sin (x) и затем умножим ее на -1. Мы должны начать со следующего утверждения о пределе тригонометрической функции f (x) = sin (x), поскольку ее аргумент стремится к нулю: lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 Доказательство этого чисто гео Подробнее »