Как интегрировать int x ^ lnx?

Ответ:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Объяснение:

Мы начинаем с U-замены с # И = п (х) #, Затем мы делим на производную # # U интегрировать по отношению к # # U:

# (Ди) / дх = 1 / х #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Теперь нам нужно решить для #Икс# с точки зрения # # U:

# И = п (х) #

# Х = е ^ и #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Вы можете догадаться, что в этом нет элементарной анти-производной, и вы были бы правы. Однако мы можем использовать форму для функции мнимой ошибки, #erfi (х) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Чтобы получить наш интеграл в эту форму, мы можем иметь только одну квадратную переменную в показателе # Е #Итак, нам нужно заполнить квадрат:

# И ^ 2 + и = (и + 1/2) ^ 2 + к #

# И ^ 2 + = и ^ 2 + и + 1/4 + K #

# К = -1/4 #

# И ^ 2 + и = (и + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Теперь мы можем ввести U-замену с # Т = и + 1/2 #, Производная просто #1#Таким образом, нам не нужно делать ничего особенного для интеграции в отношении # Т #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2 * Ерфи (T) + C #

Теперь мы можем отменить все замены, чтобы получить:

#e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (и + 1/2) + С = е ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (п (х) +1/2) + C #