Как интегрировать int e ^ x sinx cosx dx?

Ответ:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Объяснение:

Сначала мы можем использовать личность:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

который дает:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Теперь мы можем использовать интеграцию по частям. Формула:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

я позволю #f (х) = sin (2x) # а также #G '(х) = е ^ х / 2 #, Применяя формулу, получаем:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Теперь мы можем применить интеграцию по частям еще раз, на этот раз с #f (х) = Cos (2x) # а также #G '(х) = е ^ х #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Теперь у нас есть интеграл с обеих сторон равенства, поэтому мы можем решить его как уравнение. Во-первых, мы добавим 2 раза интеграл в обе стороны:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Поскольку мы хотели половину в качестве коэффициента на исходном интеграле, мы делим обе стороны на #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = Е ^ х / 10sin (2x) -e ^ х / 5cos (2x) + C #

Ответ:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Объяснение:

Мы ищем:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Который использует личность:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Мы можем написать как:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Где для удобства мы обозначаем:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, а также # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Теперь мы выполняем интеграцию по частям еще раз.

Позволять # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Затем, подключившись к формуле IBP, мы получим:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Теперь у нас есть два уравнения в два неизвестных #ЯВЛЯЕТСЯ#, а также #IC#Таким образом, подставляя B в A, мы имеем:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Ведущий к:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #