Как интегрировать int 1 / (x ^ 2 (2x-1)), используя частичные дроби?

Ответ:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | х | + 1 / х + С #

Объяснение:

Нам нужно найти # А, В, С # такой, что

# 1 / (х ^ 2 (2x-1)) = А / х + В / х ^ 2 + С / (2x-1) #

для всех #Икс#.

Умножьте обе стороны на # Х ^ 2 (2x-1) # получить

# 1 = Ах (2x-1) + В (2x-1) + Сх ^ 2 #

# 1 = 2Ax ^ 2Ax + 2BX-В + Сх ^ 2 #

# 1 = (2A + С) х ^ 2 + (2В-А) х-Б #

Уравнивающие коэффициенты дают нам

# {(2A + С = 0), (2В-А = 0), (- В = 1):} #

И, таким образом, мы имеем # А = -2, В = -1, С = 4 #, Подставляя это в исходное уравнение, получим

# 1 / (х ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / х-1 / х ^ 2 #

Теперь, интегрируйте это термин за термином

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

получить

# 2ln | 2x-1 | -2ln | х | + 1 / х + С #

Ответ:

Ответ # = 1 / х-2ln (| х |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

Объяснение:

Выполните разложение на частичные дроби

# 1 / (х ^ 2 (2x-1)) = А / х ^ 2 + В / х + С / (2x-1) #

# = (А (2x-1) + BX (2x-1) + С (х ^ 2)) / (х ^ 2 (2x-1)) #

Знаменатели одинаковы, сравните числители

# 1 = А (2x-1) + BX (2x-1) + С (х ^ 2) #

Позволять # Х = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # А = -1 #

Позволять # Х = 1/2 #, #=>#, # 1 = С / 4 #, #=>#, # С = 4 #

Коэффициенты # Х ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = -C / 2 = -4 / 2 = -2 #

Следовательно, # 1 / (х ^ 2 (2x-1)) = - 1 / х ^ 2-2 / х + 4 / (2x-1) #

Так, #int (1DX) / (х ^ 2 (2x-1)) = - INT (1DX) / х ^ 2-INT (2dx) / х + INT (4DX) / (2x-1) #

# = 1 / х-2ln (| х |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #