Как интегрировать int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2), используя частичные дроби?

Ответ:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Объяснение:

Настройте уравнение для решения переменных A, B, C

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2) ах #

Давайте сначала решим для A, B, C

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (Х-1) (х + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1))) / ((х-1) (х + 1) ^ 2) #

упрощать

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((х-1) (х + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (х + 1) ^ 2) #

Переставить условия правой стороны

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x +1) ^ 2) #

давайте составим уравнения для решения для A, B, C, сопоставив числовые коэффициенты левого и правого членов

# A + B = 4 "" #первое уравнение

# 2A + C = 6 "" #второе уравнение

# A-B-C = -2 "" #третье уравнение

Одновременное решение с использованием второго и третьего уравнения приводит к

# 2A + А + С-С-В = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #четвертое уравнение

Используя теперь первое и четвертое уравнения

# 3A-B = 4 "" #четвертое уравнение

# 3 (4-B) -B = 4 "" #четвертое уравнение

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = -8 #

# В = 2 #

Решить для использования # 3A-B = 4 "" #четвертое уравнение

# 3A-2 = 4 "" #четвертое уравнение

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# А = 2 #

Решите C, используя # 2A + C = 6 "" #второе уравнение и # А = 2 # а также # В = 2 #

# 2A + C = 6 "" #второе уравнение

# 2 (2) + С = 6 #

# 4 + С = 6 #

# С = 6-4 #

# С = 2 #

Теперь мы выполняем нашу интеграцию

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x + 1) ^ 2) ах #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x +1) ^ (- 2)) ах #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) # C_o

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Да благословит Бог ….. Я надеюсь, что объяснение полезно.

Как интегрировать int 1 / (x ^ 2 (2x-1)), используя частичные дроби?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Нам нужно найти A, B, C такие, что 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) для всех x. Умножим обе стороны на x ^ 2 (2x-1), чтобы получить 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Выравнивающие коэффициенты дают нам {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} И, таким образом, мы имеем A = -2, В = -1, С = 4. Подставляя это в исходное уравнение, мы получим 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Теперь, интегрируем его по термину int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx, чтобы получить 2ln | 2x-1 | -2ln | x | +

Как интегрировать int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)), используя частичные дроби?

Вам нужно разложить (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) как частичную дробь. Вы ищете a, b, c в RR, такие что (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + с / (х + 4). Я покажу вам, как найти только, потому что b и c должны быть найдены точно так же. Вы умножаете обе стороны на x + 3, это заставит его исчезнуть из знаменателя левой стороны и появится рядом с b и c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) тогда и только тогда (x) -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Вы оцениваете это в x-3, чтобы b и c исчезли и нашли a. х = -3, если 12/9 = 4/3

Как интегрировать int (x + 1) / ((4x-5) (x + 3) (x + 4)), используя частичные дроби?

3/119 ln | 4x - 5 | + 2/17 ln | x + 3 | - 1/7 ln | x + 4 | + C Вот что я нашел! Не стесняйтесь поправлять меня, если я ошибаюсь! Моя работа прилагается