Как вы находите предел (arctan (x)) / (5x), когда x приближается к 0?

Ответ:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Объяснение:

Чтобы найти этот предел, обратите внимание, что числитель и знаменатель идут в #0# как #Икс# подходы #0#, Это означает, что мы получили бы неопределенную форму, таким образом, мы можем применить правило L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Применяя правило L'Hospital, мы берем производную от числителя и знаменателя, давая нам

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Мы также можем проверить это с помощью графика функции, чтобы понять, что #Икс# подходы.

График #arctan x / (5x) #:

graph {(arctan x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

Ответ:

Более длительный подход с использованием триггера объясняется ниже.

Объяснение:

На тот случай, если вам не нравится правило L'Hopital или вы еще не знакомы с ним, другой подход к решению проблемы включает использование определения функции арктангенса.

Напомним, что если # Tantheta = х #, затем # Тета = arctanx #; это по существу означает, что арктангенс является обратной касательной. Используя эту информацию, мы можем построить треугольник где # Tantheta = х # а также # Тета = arctanx #:

Из диаграммы видно, что # Tantheta = х / 1 = х #, поскольку # Tantheta = sintheta / costheta #мы можем выразить это как:

# Tantheta = х #

# -> sintheta / costheta = х #

Используя это плюс тот факт, что # Тета = arctanx #Мы можем сделать замены в пределе:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Это эквивалентно:

#lim_ (тета-> 0) 1/5 * lim_ (тета-> 0) тета * lim_ (тета-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1, / 5 * lim_ (тета-> 0) тета / sintheta * lim_ (тета-> 0) costheta #

Мы знаем это #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; так #lim_ (х-> 0) 1 / (sintheta / тета) = 1/1 # или же #lim_ (х-> 0) тета / sintheta = 1 #, И с тех пор # 1 = cos 0 #предел оценивается как:

# 1/5 * lim_ (тета-> 0) тета / sintheta * lim_ (тета-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#