Как вы используете интегральный тест для определения сходимости или расхождения ряда: сумма n e ^ -n от n = 1 до бесконечности?

Ответ:

Возьмите интеграл # Int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, что конечно, и обратите внимание, что оно ограничивает #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #, Поэтому это сходится, так #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # как хорошо.

Объяснение:

Формальное утверждение интегрального теста гласит, что если #fin 0, оо) rightarrowRR # монотонно убывающая функция, которая неотрицательна. Тогда сумма #sum_ (п = 0) ^ уф (п) # сходится тогда и только тогда, когда # "Вир" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (х) ах # конечно. (Тау, Теренс. Анализ I, второе издание. Книжное агентство Индостана. 2009).

Это утверждение может показаться немного техническим, но идея заключается в следующем. Взяв в этом случае функцию #f (х) = х ^ (- х) #Отметим, что для #x> 1 #эта функция уменьшается. Мы можем увидеть это, взяв производную. #f '(х) = е ^ (- х) -xe ^ (- х) = (1-х) е ^ (- х) <0 #, поскольку #x> 1 #, так # (1-х) <0 # а также #e ^ (- х)> 0 #.

В связи с этим отметим, что для любого #ninNN _ (> = 2) # а также #x в 1, oo) # такой, что #x <= п # у нас есть #f (х)> = е (п) #, Следовательно #int_ (п-1) ^ NF (х) ах> = int_ (п-1) ^ NF (п) ах = е (п) #, так #sum_ (п = 1) ^ Nf (п) <= F (1) + sum_ (п = 2) ^ Nint_ (п-1) ^ NF (х) ах = F (1) + int_1 ^ Nf (х) ах #.

# Int_1 ^ уф (х) ах = int_1 ^ ooxe ^ (- х) ах = -int_ (х = 1) ^ ooxde ^ (- х) = - х ^ (- х) | _1 ^ оо + int_1 ^ оое ^ (-x) ах ## = - х ^ (- х) -e ^ (- х) | ^ oo_1 = 2 / е # используя интеграцию по частям и #lim_ (xrightarrowoo) е ^ -х = lim_ (xrightarrowoo) х ^ х = 0 #.

поскольку #f (х)> = 0 #, у нас есть # Е / 2 = int_1 ^ уф (х) ах> = int_1 ^ Nf (х) ах #, так #sum_ (п = 1) ^ Nf (п) <= F (1) + 2 / е = 3 / е #, поскольку #f (п)> = 0 #, сериал #sum_ (п = 1) ^ Nf (п) # увеличивается как # N # увеличивается. Поскольку он ограничен # 3 / е #, оно должно сходиться. Следовательно #sum_ (п = 1) ^ уф (п) # сходится.