Каков Радиус Сходимости для этого степенного ряда? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Ответ:

#abs z <1 #

Объяснение:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ KZ ^ к #

но

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #, Сейчас с учетом #abs z <1 # у нас есть

# сумма_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # а также

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

сейчас делаю замену #z -> - г # у нас есть

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -сум_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

так это сходится для #abs z <1 #

Как вы используете интегральный тест для определения сходимости или расхождения ряда: сумма n e ^ -n от n = 1 до бесконечности?

Возьмем конечный интеграл int_1 ^ ooxe ^ -xdx и отметим, что он ограничивает sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Следовательно, оно сходится, поэтому sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) также. Формальное утверждение интегрального теста гласит, что если fin [0, oo) rightarrowRR - монотонно убывающая функция, которая неотрицательна. Тогда сумма sum_ (n = 0) ^ oof (n) сходится тогда и только тогда, когда «sup» _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx конечна. (Тау, Теренс. Анализ I, второе издание. Книжное агентство Индостана. 2009). Это утверждение может показаться немного техническим, но идея заключается в следующем. Взяв в этом случае

Что такое тест прямого сравнения для сходимости бесконечного ряда?

Если вы пытаетесь определить сходимость суммы {a_n}, то вы можете сравнить ее с суммой b_n, сходимость которой известна. Если 0 leq a_n leq b_n и сумма b_n сходится, то сумма a_n также сходится. Если a_n geq b_n geq 0 и сумма b_n расходится, то сумма a_n также расходится. Этот тест очень интуитивен, поскольку все, что он говорит, это то, что, если большая серия совпадает, то и меньшая серия также сходится, а если меньшая серия расходится, то большая серия расходится.

Как найти представление степенного ряда для (arctan (x)) / (x) и каков радиус сходимости?

Интегрируйте степенной ряд производной арктана (x), затем разделите на x. Мы знаем представление степенного ряда 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx, такое, что absx <1. Итак, 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ пе ^ (2n). Таким образом, степенной ряд arctan (x) равен intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) х ^ (2n + 1).Разделив его на x, вы обнаружите, что степенной ряд arctan (x) / x равен sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n). Допустим, u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) Чтобы найти радиус сходимости этого степенного ряда, мы оцениваем lim_ (n -> + oo) ab