Как найти представление степенного ряда для (arctan (x)) / (x) и каков радиус сходимости?

Ответ:

Интегрировать степенной ряд производной #arctan (х) # затем разделить на #Икс#.

Объяснение:

Мы знаем представление степенных рядов # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # такой, что #absx <1 #, Так # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Так что силовой ряд #arctan (х) # является #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Вы делите это на #Икс#вы обнаружите, что степенной ряд #arctan (х) / х # является #sum_n ((- 1) ^ п) / (2n + 1) х ^ (2n) #, Скажем #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Чтобы найти радиус сходимости этого степенного ряда, оценим #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #, Поэтому, если мы хотим, чтобы степенные ряды сходились, нам нужно #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #так что ряд будет сходиться, если #absx <1 #, что неудивительно, так как это радиус сходимости представления степенного ряда #arctan (х) #.